均值不等式是《不等式》一章重要內容之一，是求函式最值的乙個重要工具，也是高考常考的乙個重要知識點。要求能熟練地運用均值不等式求解一些函式的最值問題。
一、幾個重要的均值不等式
①當且僅當a = b時，「=」號成立；
②當且僅當a = b時，「=」號成立；
③當且僅當a = b = c時,「=」號成立；
④,當且僅當a = b = c時,「=」號成立.
注：① 注意運用均值不等式求最值時的條件：一「正」、二「定」、三「等」；
② 熟悉乙個重要的不等式鏈： 。
二、函式圖象及性質
(1)函式圖象：
(2)函式性質：
①值域：；
②單調遞增區間：，；單調遞減區間：，.
三、用均值不等式求最值的常見型別
型別ⅰ：求幾個正數和的最小值。
例1、求函式的最小值。
解析：，當且僅當即時，「=」號成立，故此函式最小值是。
評析：利用均值不等式求幾個正數和的最小值時，關鍵在於構造條件，使其積為常數。通常要通過新增常數、拆項（常常是拆底次的式子）等方式進行構造。
型別ⅱ：求幾個正數積的最大值。
例2、求下列函式的最大值：
解析：①，∴
，當且僅當即時，「=」號成立，故此函式最大值是1。②，則，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。
,當且僅當，即時，不等式中的「=」號成立，故此函式最大值是。
評析：利用均值不等式求幾個正數積的最大值，關鍵在於構造條件，使其和為常數。通常要通過乘以或除以常數、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式進行構造。
型別ⅲ：用均值不等式求最值等號不成立。
例3、若x、y，求的最小值。
解法一：（單調性法）由函式圖象及性質知，當時，函式是減函式。
證明：任取且，則
，∵，∴，則，即在上是減函式。
故當時，在上有最小值5。
解法二：（配方法）因，則有，易知當時，且單調遞減，則在上也是減函式，即在上是減函式，當時，在上有最小值5。
解法三：（導數法）由得，當時，，則函式在上是減函式。故當時，在上有最小值5。
解法四：（拆分法），當且僅當時「=」號成立，故此函式最小值是5。
評析：求解此類問題，要注意靈活選取方法，特別是單調性法、導數法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔實用得方法。
型別ⅳ：條件最值問題。
例4、已知正數x、y滿足，求的最小值。
解法一：（利用均值不等式）,當且僅當即時「=」號成立，故此函式最小值是18。
解法二：（消元法）由得，由則。當且僅當即時「=」號成立，故此函式最小值是18。
解法三：（三角換元法）令則有
則，易求得時「=」號成立，故最小值是18。
評析：此類問題是學生求解易錯得一類題目，解法一學生普遍有這樣一種錯誤的求解方法：。原因就是等號成立的條件不一致。
型別ⅴ：利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。
例5、已知正數滿足，試求、的範圍。
解法一：由，則，即解得，當且僅當即時取「=」號，故的取值範圍是。
又，當且僅當即時取「=」號，故的取值範圍是。
解法二：由，知，則，由，則：
，當且僅當，並求得時取「=」號，故的取值範圍是。
，當且僅當，並求得時取「=」號，故的取值範圍是。
評析：解法一具有普遍性，而且簡潔實用，易於掌握，解法二要求掌握構造的技巧。
練習：1、試填寫兩個正整數，滿足條件，且使這兩個正整數的和最小。
2、試分別求：；最大值。
3、求最小值。
總之，利用均值不等式求最值的方法多樣，而且變化多端，要掌握常見的變形技巧，掌握常見題型的求解方法，加強訓練、多多體會，才能達到舉一反三的目的。
用均值不等式求最值的型別及方法
高三理應培優 均值不等式是 不等式 一章重要內容之一，是求函式最值的乙個重要工具，也是高考常考的乙個重要知識點。要求能熟練地運用均值不等式求解一些函式的最值問題。一 幾個重要的均值不等式 當且僅當a b時，號成立 當且僅當a b時，號成立 當且僅當a b c時,號成立 當且僅當a b c時,號成立....
利用均值不等式求最值的方法
均值不等式當且僅當a b時等號成立 是乙個重要的不等式，利用它可以求解函式最值問題。對於有些題目，可以直接利用公式求解。但是有些題目必須進行必要的變形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的變形方法。一 配湊 1.湊係數 例1.當時，求的最大值。解析 由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定...
用均值不等式求最值的方法和技巧學生版
一 幾個重要的均值不等式 當且僅當a b時，號成立 當且僅當a b時，號成立 當且僅當a b c時,號成立 當且僅當a b c時,號成立.注 注意運用均值不等式求最值時的條件 一 正 二 定 三 等 熟悉乙個重要的不等式鏈 二 用均值不等式求最值的常見的方法和技巧 1 求幾個正數和的最小值。例1 求...