考試指南報2011已年發表
陝西省扶風縣第二高階中學樑明軒 722200
運用均值不等式「
當且僅當時等號成立」求最值是中學數學求最值的基本方法之一，許多外形與它截然相異的函式式，常常也能利用它巧妙地求出最值.且運用均值定理求最值是歷年來高考的熱點內容，因此必須熟練掌握他的運用條件和運用技巧.
一、重視運用過程中的三個條件：「一正、二定、三相等」，三者缺一不可。
（1） 注意「正數」
例1、求函式的值域 .
誤解：（當且僅當時取等號），所以值域為.
這裡錯誤在於使用均值定理時忽略了條件：
正確解法：；
所以函式的值域是.
（2） 注意「相等」
例2、設，求函式的最小值.
誤解：拿到很容易想到用均值定理，所以有
.這裡的錯誤是沒有考慮等號成立的條件.顯然要，這樣的不存在，故導致錯誤.此題用均值定理，需要拆項，同時要等號成立，需要配乙個係數.
正確解法：.
所以. 例3、.
誤解：所以的最大值為.
這裡（1）取等號的條件是僅當；由條件知這是不可能的，所以不可能取到上述的最大值.
正確解法：僅當時取等，所以.
如取（3）注意「定值」
例4、已知.
誤解：，
.以上過程只能說明當.但沒有任何理由說明這種似是而非的錯誤解法，關鍵在於運用重要不等式放縮後的式子不是定值，致使得不出正確的結果
正確解法：
，所以僅當.
二、常用的處理方法和技巧
（1） 拆項：為了創設使用不等式的條件，有時需將一些項作適當的變形，拆為多項之積，從而達到湊積或和為定值的目的。為了使等號成立，常遵循「平均分拆」的原則.
例5、求函式的最小值.
解： ，
所以僅當.
（目標求和的最值，所以湊積為定值，因此拆為相同兩項，同時使得含變數的因子的次數和為零）
（2） 裂項：常用於分式形式，且分子所含變數因子的次數比分母的含變數因子的次數大或相等時用此方法。
例6、設，求函式的最小值.
所以僅當.
（先盡可能的讓分子變數項和分母相同，然後裂項轉化為求和的最值，進而湊積為定值。即使得含變數的因子的次數和為零，同時取到等號）
（3） 添項：求和的最小值時，為了使積為定值，需新增某個項.
例7、求函式的最小值.
所以當（求和的最值，盡可湊積為定值，因此新增6，再減法6，即使得含變數的因子的次數和為零，同時取到等號）.
例8、若.的最小值.
解：所以僅當時的最小值為16.
[所以求變數出現在分子，已知條件變數在分母，為此添上1（即乘1即乘），變為求和的最值，因此湊積為定值，即使得含變數的因子的次數和為零，同時取到等號]
注意：例8這種解法也叫用「1」的技巧.
4、湊係數：為了求積的最大值，常將因式放入根號內，同乘或同除以某個正數，使含變數的各因子之和為常數.
例9、求函式的最大值.
解:（僅當時取等號）因此僅當.
（把變數都放在同一條件下的根號裡，求積的最值，湊和為定值，因此配變數次數相同且係數和為零，且取到等號）
例10、已知求函式的最大值.
解：因此僅當
（求積的最值，湊和為定值，因此首先配變數次數相同,故把變數放到根號內使次數公升高，再配次數相同和係數和為零，且取到等號）
5、分子變數常數化：常用於分式形式，且分子所含變數因子的次數比分母的含變數因子的次數小時用此方法.
例、11設求函式的最大值.
解：由題
而所以僅當.
（分子變數因子次數比分母的小且變數因子不為零，可同時除以分子所含變數因子化為前面形式解）
6、取倒數：已知變數出現在分母，所求為變數積且出現在分子，可取倒數再如前面一樣求解.
例12、已知，求的最大值.
解： 因此僅當
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