利用均值不等式求最值或證明不等式是高中數學的乙個重點。在運用均值不等式解題時,我們常常會遇到題中某些式子不便於套用公式，或者不便於利用題設條件，此時需要對題中的式子適當進行拼湊變形。均值不等式等號成立條件具有潛在的運用功能。
以均值不等式的取等條件為出發點，為解題提供資訊，可以引發出種種拼湊方法。筆者把運用均值不等式的拼湊方法概括為八類。
一、 拼湊定和
通過因式分解、納入根號內、公升冪等手段，變為「積」的形式，然後以均值不等式的取等條件為出發點，均分係數，拼湊定和，求積的最大值。
例１ 已知，求函式的最大值。
解： 。
當且僅當，即時，上式取「=」。故。
評注：通過因式分解，將函式解析式由「和」的形式，變為「積」的形式，然後利用隱含的「定和」關係，求「積」的最大值。
例2 求函式的最大值。
解：。因，
當且僅當，即時，上式取「=」。故。
評注：將函式式中根號外的正變數移進根號內的目的是集中變元，為「拼湊定和」創造條件。
例3 已知，求函式的最大值。
解： 。
當且僅當，即時，上式取「=」。
故，又。
二、 拼湊定積
通過裂項、分子常數化、有理代換等手段，變為「和」的形式，然後以均值不等式的取等條件為出發點，配項湊定積，創造運用均值不等式的條件
例4 設，求函式的最小值。
解：。當且僅當時，上式取「=」。故。
評注：有關分式的最值問題，若分子的次數高於分母的次數，則可考慮裂項，變為和的形式，然後「拼湊定積」，往往是十分方便的。
例5 已知，求函式的最大值。
解：，。
當且僅當時，上式取「=」。故。
評注：有關的最值問題，若分子的次數低於分母的次數，可考慮改變原式的結構，將分子化為常數，再設法將分母「拼湊定積」。
例6 已知，求函式的最小值。
解：因為，所以，令，則。
所以。當且僅當，即時，上式取「=」。故。
評注：通過有理代換，化無理為有理，化三角為代數，從而化繁為簡，化難為易，創造出運用均值不等式的環境。
三、 拼湊常數降冪
例7 若，求證：。
分析：基本不等式等號成立的條件具有潛在的運用功能，它能在「等」與「不等」的互化中架設橋梁，能為解題提供資訊，開闢捷徑。本題已知與要求證的條件是，為解題提供了資訊，發現應拼湊項，巧妙降次，迅速促成「等」與「不等」的辯證轉化。
證明：。
當且僅當時，上述各式取「=」，
故原不等式得證。
評注：本題借助取等號的條件，創造性地使用基本不等式，簡潔明瞭。
例8 若，求的最大值。
解： 。
當且僅當時，上述各式取「=」，故的最大值為7。
例9 已知，求證：。
證明：，
，又，。
當且僅當時，上述各式取「=」，故原不等式得證。
四、 拼湊常數公升冪
例10 若，且，求證。
分析：已知與要求證的不等式都是關於的輪換對稱式，容易發現等號成立的條件是，故應拼湊，巧妙公升次，迅速促成「等」與「不等」的辯證轉化。
證明：，
。當且僅當時，上述各式取「=」，故原不等式得證。
例11 若，求證：。
證明： 。
又。當且僅當時，上述各式取「=」，故原不等式得證。
五、 約分配湊
通過「1」變換或添項進行拼湊，使分母能約去或分子能降次。
例12 已知，求的最小值。
解：。當且僅當時，即，上式取「=」，故。
例13 已知，求函式的最小值。
解：因為，所以。
所以。當且僅當時，即，上式取「=」，故。
例14 若，求證。
分析：注意結構特徵：要求證的不等式是關於的輪換對稱式，當時，等式成立。
此時，設，解得，所以應拼湊輔助式為拼湊的需要而添，經此一添，解題可見眉目。
證明：。當且僅當時，上述各式取「=」，故原不等式得證。
六、 引入引數拼湊
某些複雜的問題難以觀察出匹配的係數，但利用「等」與「定」的條件，建立方程組，解地待定係數，可開闢解題捷徑。
例15 已知，且，求的最小值。
解：設，故有。
。當且僅當同時成立時上述不等式取「=」，
即，代入，解得，此時，故的最小值為36。
七、 引入對偶式拼湊
根據已知不等式的結構，給不等式的一端匹配乙個與之對偶的式子，然後一起參與運算，創造運用均值不等式的條件。
例16 設為互不相等的正整數，求證。
證明：記，構造對偶式，
則，當且僅當時，等號成立。又因為為互不相等的正整數，
所以，因此。
評注：本題通過對式中的某些元素取倒數來構造對偶式。
八、 確立主元拼湊
在解答多元問題時，如果不分主次來研究，問題很難解決；如果根據具體條件和解題需要，確立主元，減少變元個數，恰當拼湊，可創造性地使用均值不等式。
例17 在中，證明。
分析：為輪換對稱式，即的地位相同，因此可選乙個變元為主元，將其它變元看作常量（固定），減少變元個數，化陌生為熟悉。
證明：當時，原不等式顯然成立。
當時，。當且僅當，即為正三角形時，原不等式等號成立。
綜上所述，原不等式成立。
評注：變形後選擇a為主元，先把a看作常量，b、c看作變數，把b、c這兩個變數集中到，然後利用的最大值為1將其整體消元，最後再回到a這個主元，變中求定。
綜上可見，許多貌似繁難的最值問題或不等式證明問題，運用均值不等式等號成立條件，恰當拼湊，可創造性地使用均值不等式，輕鬆獲解。這種運用等號成立條件的拼湊方法，既開拓了學生的思路，又活躍了學生的思維，培養了學生的數學能力。
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