王俊重慶市雲陽高階中學校 404500
選修4-5《不等式選講》中的均值不等式，是高中數學的乙個重要不等式，應用廣泛，特別是求解某些函式的最值問題，它是最有效的工具之一。運用均值不等式求最值時，必須要滿足三個條件：「一正、二定、三相等」。
但求最值的問題往往不完全具備這些條件，因此需要我們有技巧性地進行變形來補足條件。以下通過例項介紹一些常見的變形技巧，供大家參考。
一、不正時，化負為正
用均值不等式求最值的首要前提是各項要為正數，當各項的值不為正數時，只需要將所求項添上負號，化負為正，求出最值後，再去掉負號。
例1 知，求函式的最大值；
分析：本題滿足（定值），但，不能直接用均值不等式，需添負號，將其化為正數後再用均值不等式。
解：因為，所以，則，所以有：，即有，所以得：。
當且僅當即時，等號成立，些時，取得最大值。
二、不定時，配湊為定
用均值不等式求最值又一前提是要求代數式的和或者積為定值，而題目條件往往無法滿足，因此需要我們運用配湊的方法去補足定值的條件。根據題目不同，配湊又分以下幾種情況：
（1）配湊係數
例2 已知，求函式的最大值。
分析：雖，但不為定值，由於所求式為積形式，可以通過乘除配湊係數，來滿足定值條件。
解：，當且僅當即時等號成立，此時取得最大值。
例3 知，且有，求函式的最大值
分析：雖，但與都不為定值，由已知條件，考慮平方相加，但必須配湊係數，通過乘除來滿足定值條件。
解： 因為，當且僅當
即時等號成立，此時取得最大值。
（2）配湊項數
例4 已知求函式的最小值。
分析： 雖，但不為定值，但注意到，所以可通過配湊項來滿足積為定值。
解：因為，當且僅當即時等號成立，此時取得最小值
例5 若的最小值。
分析： 雖，但不為定值，但有，又，所以把原式可配湊成積是定值。
解 ： 因為當且僅當且時，即時等號成立，此時取得最小值。
（3）配湊次數
例6 ，求函式的最小值；
分析： 雖，但不為定值，由於分母次數高，所以可將平均分拆成，從而使乘積為定值。
解因為，當且僅當時等號成立，此時取得最小值。
例7知，求的最大值。
分析：，但不為定值，聯想到，可將原式兩邊平方，再配湊係數，從而得和式為定值。
解： 因為，所以，即有
當且僅當即時等號成立，此時，的最大值為。
（4）配湊結構
例8 知，求的最小值。
分析： 原式為分式，既不是和的形式，也不是積的形式，不能直接應用均值不等式，但注意到分子可以配湊成，再將分式變形成和的形式，可用均值不等式了。
解： 因為，當且僅當即時等號成立，此時的最小值為。
例9，求的最小值。
分析： 雖，可不為定值，但注意到分母相加為定值1，但若用兩次均值不等式後，等號不能成立，所以可以聯想到將分式的1配湊成，再變形後則可用均值不等式。
解： 因為，當且僅當即時等號成立，此時的最小值為。
三、不等時，配等或不用
用均值不等式求最值時，最後乙個必須滿足的條件是等號能成。但在解題的過程中，有時往往出現湊出了『常數』卻取不到『等號』，此時，就回顧解題過程是否合理，或減少放縮環節，或者改用函式單調性或三角換元等策略
例10 設a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求證：(a＋)(b＋)的最小值．
分析：若(a＋)(b＋)≥＝4，則等號成立的條件與a＋b＝1不能同時成立，故取不到最小值4．本題可利用等號成立的條件來配湊，觀察最小值恰好在a＝b＝時取到，故可以合理配湊出等號恰好在「a＝b＝」取得．
解1：(a＋)(b＋)＝ab＋≥ab＋＋2≥2＋＋2 ＝＋≥＋＝．當且僅當a＝b＝時取等號．所以 (a＋)(b＋)的最小值．
解2：(a＋)(b＋)＝
≥(由0＜ab≤)≥25＝．
當且僅當a＝b＝時取等號．所以 (a＋)(b＋)的最小值．
例11 知，求函式的最小值．
分析： 雖為定值，但不成立，所以等號不成立，則可以考慮拆項來滿足等號，或者利用函式的單調性來求最值。
解1： 因為
當且僅當時即，兩次等號都成立，所以取得最小值為。
解2： 由，令，因為，所以，易得函式在區間上為減函式，所以當，取得最小值為，此時，。
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