一、定點、定值、定形問題中的兩種常用方法
1．「特殊」探求
例1．（09、遼寧）已知橢圓：．是橢圓上的兩個動點，點是橢圓上的乙個定點．如果直線的斜率互為相反數，證明直線的斜率為定值，並求出這個定值．
解：①「特殊」**：取點(即右頂點) 直線的方程：．由．
②一般性的證明：設過點的直線方程為：
由． 設方程的兩根為、，則·＝＝． 分別用「」「」替換「」
＝，＝，
＝，＝．所以直線的斜率
=．即直線的斜率為定值，其值為．
小結：①取特殊點，求出定值，後續運算僅僅是乙個填空程式；②上述解題過程，運用了「對偶運算」，減少運算、減輕思維負擔．
2．「與引數無關」
例2． (07、湖南理21）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交於兩點．【直接法求軌跡】
（1）若動點滿足（其中為座標原點），求點的軌跡方程；
(2)在軸上是否存在定點，使·為常數？若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由．
解：(1)由條件知，，設，．設．
第一歩：「基本特徵式」：設，，直線：．
由…………；
第二歩：「向量特徵式」：，，，， 由
……（*2）
第三歩：代入(整體)：由（*1）與(*2) ；
第四歩：消參：（1）÷（2），代入（1）：．
所以點的軌跡方程是．
【(2)在軸上是否存在定點，使·為常數？若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由】
解：假設在軸上存在定點，使·為常數．第一歩：先特殊**．當與軸垂直時，點的座標為， ·＝·＝－1＝常數；
第二歩：再解決一般情況．【以下是基本「特徵式」的運算】當不與軸垂直時．
①兩設：設直線的方程是，，．
②方程組→一元二次方程→基本「特徵式」
由 ；③運用基本「特徵式」求解問題：· ·
因為·是與無關的常數，所以，即，此時·＝－1．【與例1的注⑥，用「與引數無關」的方法求定值】
綜合：在軸上存在定點，使·＝－1．
小結：①定點、定值的題目中，若存在(大多數是「隱含」條件)「與引數無關」類的語句，求解方法是：第一歩，將表示式→關於「引數」的多項式；第二歩，令含「引數」的項的係數為零，即得到求解結論；
②其理論依據： 若關於方程的解為，即「零」多項式理論；
若關於方程的解為，即「零次」多項式理論；
若關於的函式的值與無關函式是常數函式所有含項的係數＝0，即「零次」多項式理論；
③一般地，這類題目的運算結果，總是含有兩個引數：「無關引數」和「待求引數」．而本題很特殊：含「無關引數」是關於「引數」分式，增加了問題的難度．
例5．(2011、武漢市第二次質檢、三中供題) 已知點是橢圓上任意一點，直線的方程為．(1)判斷直線與橢圓e交點的個數；(2)直線過p點與直線垂直，點m（－1，0）關於直線的對稱點為n，直線pn恆過一定點g，求點g的座標．
解：(1)由△＝0直線與橢圓只有乙個交點．
(2)直線的方程為 ．設關於直線的對稱點的座標為
直線斜率直線的方程為：即直線恆過定點．
小結：①這道題是證明的圓錐曲線的光學性質，先猜想直線經過另乙個焦點g(1，0)，然後再給予證明；
②本題雖然計算量很大，但有了猜想的導向，運算方向清晰，中間過程可以猜想性的表述．
二、先區域性，後整體，有序地運算：「由區域性→整體的重組」
解析幾何中的數學順序，表現為「由區域性→整體的重組」，「整體消參」．而「對稱運算」與「對偶運算」是強力支撐．
例5．(08、武漢模擬)過雙曲線－＝的右頂點，作兩條斜率分別為、的直線、，交雙曲線於、．其中·＝－，＋，且＞，求直線的斜率為定值，並求這個定值．
解：【分析：題設條件是·＝－，提示了解題順序．先區域性地分別求出、，然後重組為·＝－．可以預定：一定能消除引數】設過右頂點(1，0)的直線方程：，由方程組：
·＝－．由＝1(？) ＝－
＝－＝－【注：用的是「對偶」運算】．
又＝－·，代入上式：＝－＝，＝．
所以＝＝－，【注：用的是「由區域性→整體的重組」下的「整體消參」】由對稱性：＝－＝∥軸，得直線的斜率.
小結：①本題是「對偶運算」的經典題目，反覆「複製」運算結果，節約了大量的時間；
②在「對偶運算」的幫助下,「代點、代入」與「由區域性→整體的重組」有效合成為一體；
③本題可以先取＝4，＝1，＝－4，求出直線的斜率後，再有目標地運算．
三、「代點配湊、代入消參」的運算定式
「代點配湊、代入消參」的運算定式是非常重要的運算．「點差法」，本質上是這種定式的先期運用．反之：「代點配湊、代入消參」的定式，是「點差法」運算的深化．同時，「代點配湊、代入消參」的運算定式，也是「先區域性，後整體，有序地運算」的深化．複雜一點的問題，其題型特徵是：①曲線上有兩個動點； ②於是很容易誤導 「直線與曲線相交於兩點」運算模式； ③一旦用上式，得到的是無效運算．
先看下面的一道「定值」形式的題，做完後再小結，期望得到解題定式．
例6．（09、宣武）已知是橢圓：＋上兩個不同的點，滿足＋＝，求證：|·|是定值，並求這個定值．
解：設①代點：＋，＋
②配湊1．
③代入消參：·＝＝＝＝
＝＝|·|定值．
小結：「代點配湊、代入消參」的解題定式：①代點：
因為、在曲線上，；【＋，＋】②配湊：按照求解目標，兩式相加或相減，得到關於、、、的整體關係式把上述關係式，集成為含有、的式子，經過配湊得到乙個新的關係式；【＋＝1】
③代入消元：把配湊得到的結果，代入求解目標，繼續運算．【·＝＝＝＝】(是「點差法」運算的複製)
小結：①「代點配湊、代入消參」的解題定式，在求定點定值和軌跡方程時常常用到．同時還要注意：用「特殊」探求處理定點、定值、定形問題，僅僅是一種方法，並不是所有的問題都必須採用，不要構成錯誤的「思維定勢」；
②「代點配湊、代入消參」的解題定式是「點差法」運算的深化，所以求解時，可以按照「點差法」的模式，「先區域性，後整體，有序地運算」；
③「代點配湊、代入消參」的解題定式，僅僅是比「點差法」的運算多了乙個「消參」環節，從而得到常數；【注：還有另外一種形式上的「代點配湊、代入消參」】
例7．(09、全國1)過定點作直線與橢圓：＋相交於不同的兩點，點**段上，且．求證：點總在定直線上．
證明：記λ＝＝，則λ＞０，且λ≠１．由四點共線＝－λ，＝λ．設點，， ①代點：＋，＋；
②配湊＝，＝＝，＝；
③代入消參
＝·（1－）＝1， 所以：點q的軌跡方程為：＝1．
小結：①把線段的比，轉化為向量關係．然後直接採用「定式」運算．這裡沒有使用「基本特徵式」參與運算；
②根據求解目標：「」， 代入、配湊、消元，一氣呵成．
四、「代點配湊、代入消參」與求軌跡方程
高考試卷中的解析幾何題，是干擾學生得高分的「瓶頸」．兩種情況：
①無法取得適當的運算途徑，往往是只做第一問，得到4～5分，心安理得；
②期望突破第二問，但運算途徑不合理，越算越複雜，耽誤時間，耗時耗精力．運氣好，得到2～3分．
1．「代入法」求軌跡方程、曲線過定點中的「整體消元」
例8．(09、江西）已知點為雙曲線上任一點，f2為雙曲線的右焦點．過作右準線的垂線，垂足為．連線並延長交y軸於．
(1) 求線段的中點的軌跡的方程；
(2) 設軌跡與軸交於兩點，在上任取一點，直線、分別交軸於兩點．求證：以為直徑的圓過兩定點．
解：(1)【分析：點的運動，是因為已知曲線上的已知運點生成的，標準的「相關點法」求軌跡問題】
由已知得．則直線的方程為：，令得，即．由是的中點
代入為軌跡e的方程．
(2) 【設軌跡與軸交於兩點，在上任取一點，直
線、分別交軸於兩點．求證：以為直徑的圓過兩定點】
解：在中令得．設， 直線的方程為：,直線的方程為：． )，n(0，)以為直徑的圓的方程為：－)(＋．【注：圓的直徑式】
令．【注：為什麼想到？】而在上為直徑的圓過兩定點(－5b，0)、(5b，0)．【注：「代入消參」】
小結：(1)「相關點法」(也叫「代入法」)求軌跡(注：求軌跡方程與求軌跡的關聯與遞進關係)的條件特徵：
①兩個已知：已知的動點在已知的曲線上運動；
②「真動點」在已知的動點的「帶動」、「幫助」下運動．
(2)「相關點法」求軌跡的始終如一地「圍繞求出」，然後整體代入消除引數；
(3)第二問「求證：為直徑的圓過定點」的難點：
① 「以為直徑的圓的方程：－)(＋」 求出後，為什麼「令」？【「整體代入消元」的思維定式】；
②在得到「以為直徑的圓」與的交點的橫座標「」後，為什麼會想到「而在上」的運算歩驟？【「整體代入消元」的思維定式】．
2．「引數法」求軌跡方程中的「整體消元」
例9．(08、山東文22)已知曲線：所圍成的封閉圖形的面積為4，曲線的內切圓半徑為，記為以曲線與座標軸的交點為頂點的橢圓．(1)求橢圓的標準方程【幾何量】；
(2)設ab是過橢圓中心的任意弦，l是線段ab的
垂直平分線，m是l上異於橢圓中心的點．
①若|mo|＝λ|oa|(o為座標原點)，當點a在橢圓上運動時，求點m的軌跡方程；【代點法、k引數】
②若m是l與橢圓的交點，求△amb的面積的最小值．
解：(1)由題意得橢圓方程：＝1．
(2)若ab所在的斜率存在且不為零，設ab所在直線方程為y＝kx(k≠0)，a()．①由．
設m(x，y)，由|mo|＝λ|oa|(λ≠0) |mo|2＝λ2|oa|2．
由l是ab的垂直平分線，所以直線l的方程為y＝k＝，代入上式：，由．當k＝0或不存時，上式仍然成立.．
綜上所述，m的軌跡方程為，（λ0）．
②當k存在且k0時， |oa|2＝．由
． ＝．
≥．＝≥，
當且僅當4＋5k2＝5＋4k2時，即k＝1時等號成立．
當； 當k不存在時，．
綜上所述，的面積的最小值為．
小結：①橢圓的乙個性質、極角、橢圓的引數方程的說明；
②「，」是由區域性→整體，為實施「整體消參」作準備； ③不要忘記斜率為零和不存在的特殊情況．
本節內容小結：這節內容的難度較高，有題型、有方法、有運算定式．歸納起來：
1．「曲線過定點」、「定點、定值」問題，兩種常用方法：①先用特殊點、特殊位置、特殊直線、極端位置、極限位置、特殊值、特殊圖形，求出定點、定值．然後有目標地運算；②「與引數無關」問題的求解方法；
圓錐曲線中定點定值問題
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圓錐曲線解題方法技巧歸納教師版
第一 知識儲備 1.直線方程的形式 1 直線方程的形式有五件 點斜式 兩點式 斜截式 截距式 一般式。2 與直線相關的重要內容 傾斜角與斜率 點到直線的距離 夾角公式 3 弦長公式 直線上兩點間的距離 或 4 兩條直線的位置關係 1 5 中點座標公式 其中是點的中點座標。韋達定理 若一元二次方程有兩...