第二講圓錐曲線的概念及性質
一、選擇題
1．(2010·安徽)雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的右焦點座標為
a. b. c. d．(，0)
解析：∵原方程可化為－＝1，a2＝1，
b2＝，c2＝a2＋b2＝，
∴右焦點為.
答案：c
2．(2010·天津)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝x，它的乙個
焦點在拋物線y2＝24x的準線上，則雙曲線的方程為
a.－＝1b.－＝1
c.－＝1d.－＝1
解析：∵漸近線方程是y＝x，∴＝.①
∵雙曲線的乙個焦點在y2＝24x的準線上，
∴c＝6.②
又c2＝a2＋b2，③
由①②③知，a2＝9，b2＝27，
此雙曲線方程為－＝1.
答案：b
4．(2010·遼寧)設拋物線y2＝8x的焦點為f，準線為l，p為拋物線上一點，pa⊥l，
a為垂足．如果直線af的斜率為－，那麼|pf
a．4 b．8 c．8 d．16
解析：解法一：af直線方程為：
y＝－(x－2)，
當x＝－2時，y＝4，∴a(－2,4)．
當y＝4時代入y2＝8x中，x＝6，
∴p(6,4)，
∴|pf|＝|pa|＝6－(－2)＝8.故選b.
解法二：∵pa⊥l，∴pa∥x軸．
又∵∠afo＝60°，∴∠fap＝60°，
又由拋物線定義知pa＝pf，
∴△paf為等邊三角形．
又在rt△aff′中，ff′＝4，
∴fa＝8，∴pa＝8.故選b.
答案：b
5．高8 m和4 m的兩根旗桿筆直豎在水平地面上，且相距10 m，則地面上觀察兩旗桿
頂端仰角相等的點的軌跡為
a．圓 b．橢圓 c．雙曲線 d．拋物線
解析：如圖1，假設ab、cd分別為高4 m、8 m的旗桿，p點為地面上觀察兩旗桿
頂端仰角相等的點，由於∠bpa＝∠dpc，則rt△abp∽rt△cdp，＝，從而
pc＝2pa.在平面apc上，以ac為x軸，ac的中垂線為y軸建立平面直角座標系(圖
2)，則a(－5,0)，c(5,0)，設p(x，y)，得＝2
化簡得x2＋y2＋x＋25＝0，顯然，p點的軌跡為圓．
答案：a
二、填空題
解析：由題知，垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓，則ce∈(0,1)，所以e∈.
答案：7．(2010·浙江)設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為f，點a(0，2)．若線段fa的中點b在
拋物線上，則b到該拋物線準線的距離為________．
解析：f，則b，
∴2p×＝1，解得p＝.
∴b，因此b到該拋物線的準線的距離為＋＝.
答案：8．(2010·北京)已知雙曲線－＝1的離心率為2，焦點與橢圓＋＝1的焦點相同，
那麼雙曲線的焦點座標為________；漸近線方程為________．
解析：∵橢圓＋＝1的焦點為(±4,0)，∴雙曲線的焦點座標為(±4,0)，
∴c＝4，＝2，c2＝a2＋b2，
∴a＝2，b2＝12，
∴雙曲線方程為－＝1，
∴漸近線方程為y＝±x＝±x，
即x±y＝0.
答案：(±4,0) x±y＝0
即xd＝，由橢圓的第二定義得|fd|＝e＝a－.又由|bf|＝2|fd|，得a＝
2a－，整理得a2＝3c2，
即e2＝，解得e＝.
答案：三、解答題
10．已知p點在以座標軸為對稱軸的橢圓上，點p到兩焦點的距離分別為和，
過p作長軸的垂線恰好過橢圓的乙個焦點，求此橢圓的方程．
解：解法一：設橢圓的標準方程是＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，兩個焦點
分別為f1、f2，則由題意，知2a＝|pf1|＋|pf2|＝2，∴a＝.在方程＋＝1
中，令x＝±c，得|y|＝.在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.依題意知＝，
∴b2＝.即橢圓的方程為＋＝1或＋＝1.
解法二：設橢圓的兩個焦點分別為f1、f2，
則|pf1|＝，|pf2|＝.
由橢圓的定義，知2a＝|pf1|＋|pf2|＝2，即a＝.
由|pf1|>|pf2|知，pf2垂直於長軸．
故在rt△pf2f1中，4c2＝|pf1|2－|pf2|2＝，
∴c2＝，於是b2＝a2－c2＝.
又所求的橢圓的焦點可以在x軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為＋
＝1或＋＝1.
11．(2010·湖北)已知一條曲線c在y軸右邊，c上每一點到點f(1,0)的距離減去它到
y軸距離的差都是1.
(1)求曲線c的方程；
(2)是否存在正數m，對於過點m(m,0)且與曲線c有兩個交點a、b的任一直線，
都有·<0？若存在，求出m的取值範圍；若不存在，請說明理由
解：(1)設p(x，y)是曲線c上任意一點，那麼點p(x，y)滿足－x＝1(x>0)，
化簡得y2＝4x(x>0)．
(2)設過點m(m,0)(m>0)的直線l與曲線c的交點為a(x1，y1)，b(x2，y2)．
設l的方程為x＝ty＋m，由得
y2－4ty－4m＝0，
δ＝16(t2＋m)>0，於是
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
·<0(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0
又x＝，於是不等式②等價於·＋y1y2－＋1<0＋y1y2－[(y1＋
y2)2－2y1y2]＋1<0
由①式，不等式③等價於m2－6m＋1<4t2
對任意實數t,4t2的最小值為0，所以不等式④對於一切t成立等價於m2－6m＋1<0，
即3－2由此可知，存在正數m，對於過點m(m,0)且與曲線c有兩個交點a，b的任一直
線，都有·<0，且m的取值範圍是(3－2，3＋2)．
12．(2009·陝西，21)已知雙曲線c的方程為－＝1(a>0，b>0)，離心率e＝，頂點
到漸近線的距離為.
(1)求雙曲線c的方程；
(2)如圖，p是雙曲線c上一點，a，b兩點在雙曲線c的兩
條漸近線上，且分別位於第
一、二象限.若＝λ，λ∈
，求△aob面積的取值範圍．
解：解法一：(1)由題意知，雙曲線c的頂點(0，a)到漸近線ax－by＝0的距離為，
∴＝，即＝.
由得∴雙曲線c的方程為－x2＝1.
(2)由(1)知雙曲線c的兩條漸近線方程為y＝±2x.
設a(m,2m)，b(－n,2n)，m>0，n>0.
由＝λ＝λ得p點的座標為，
將p點座標代入－x2＝1，
化簡得mn＝，
設∠aob＝2θ，∵tan＝2，
∴tan θ＝，sin 2θ＝.
又|oa|＝m，|ob|＝n，
∴s△aob＝|oa|·|ob|·sin 2θ
＝2mn＝＋1.
記s(λ)＝＋1，λ∈，
則s′(λ)＝
由s′(λ)＝0得λ＝1，又s(1)＝2，
s＝，s(2)＝，
∴當λ＝1時，△aob的面積取得最小值2，當λ＝時，△aob的面積取得最大值.∴△aob面積的取值範圍是.
解法二：(1)同解法一．
(2)設直線ab的方程為y＝kx＋m
由題意知|k|<2，m>0.
由得a點的座標為，
由，得b點的座標為.
由=λ得p點的座標為
，將p點座標代入－x2＝1得＝.
設q為直線ab與y軸的交點，則q點的座標為(0，m)．
s△aob＝s△aoq＋s△boq＝|oq|·|xa|＋|oq|·|xb|＝m·(xa－xb)＝m＝·
＝＋1.
以下同解法一
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