點差法公式在橢圓中點弦問題中的妙用(內部資料)
高考使用範圍：
1、以定點為中點的弦所在直線的方程
2、以動點為中點的弦，中點的軌跡方程
3、圓錐曲線上兩點關於某直線對稱問題
定義：若設直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）座標為、，將這兩點代入圓錐曲線的方程並對所得兩式作差，得到乙個與弦的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為「點差法」。
定理在橢圓（＞＞0）中，若直線與橢圓相交於m、n兩點，點是弦mn的中點，弦mn所在的直線的斜率為，則
證明：設m、n兩點的座標分別為、，
則有，得又則
同理可證，在橢圓（＞＞0）中，若直線與橢圓相交於m、n兩點，點是弦mn的中點，弦mn所在的直線的斜率為，則.
一、 以定點為中點的弦所在直線的方程（5分鐘完成）
例1、過橢圓內一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。
解：設直線與橢圓的交點為、
為的中點
又、兩點在橢圓上，則，
兩式相減得
於是即，故所求直線的方程為，即。
例2、已知雙曲線，經過點能否作一條直線，使與雙曲線交於、，且點是線段的中點。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由。
\二、 過定點的弦和平行弦的中點座標和中點軌跡
例3、已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點恰為這條弦的中點，求點的座標。
解：設弦端點、，弦的中點，則
，又 ，
兩式相減得
即，即點的座標為。
三、 求與中點弦有關的圓錐曲線的方程
例5、已知中心在原點，一焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫座標為，求橢圓的方程。
高考文科試題解析分類彙編：圓錐曲線
1.設是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ）
2.等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交於兩點，；則的實軸長為（ ）
4.橢圓的中心在原點，焦距為，一條準線為，則該橢圓的方程為
（ab）
（cd）
5.已知、為雙曲線的左、右焦點，點在上，，則
（abcd）
二 、填空題
13.橢圓為定值，且的的左焦點為，直線與橢圓相交於點、，的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是______。
15.【2012高考江蘇8】（5分）在平面直角座標系中，若雙曲線的離心率為，則的值為 ▲ ．
18.【2012高考安徽文14】過拋物線的焦點的直線交該拋物線於兩點，若，則=______。
三、解答題
20. 【2012高考天津19】（本小題滿分14分）
已知橢圓（a>b>0）,點p（, ）在橢圓上。
（i）求橢圓的離心率。
21.【2012高考江蘇19】（16分）如圖，在平面直角座標系中，橢圓的左、右焦點分別為，．已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
答案1.設是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ）
【答案】c
【命題意圖】本題主要考查橢圓的性質及數形結合思想，是簡單題.
【解析】∵△是底角為的等腰三角形，
故選c.
2.等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交於兩點，；則的實軸長為（ ）
【答案】c
【命題意圖】本題主要考查拋物線的準線、直線與雙曲線的位置關係，是簡單題.
【解析】由題設知拋物線的準線為：，設等軸雙曲線方程為：，將代入等軸雙曲線方程解得=，∵=，∴=，解得=2，
∴的實軸長為4，故選c.
4.橢圓的中心在原點，焦距為，一條準線為，則該橢圓的方程為
（ab）
（cd）
【答案】c
【命題意圖】本試題主要考查了橢圓的方程以及性質的運用。通過準線方程確定焦點位置，然後借助於焦距和準線求解引數，從而得到橢圓的方程。
【解析】因為，由一條準線方程為可得該橢圓的焦點在軸上縣，所以。故選答案c
5.已知、為雙曲線的左、右焦點，點在上，，則
（abcd）
【答案】c
【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運用和性質的運用，以及餘弦定理的運用。首先運用定義得到兩個焦半徑的值，然後結合三角形中的餘弦定理求解即可。
【解析】解：由題意可知，，設，則，故，，利用餘弦定理可得。
13.橢圓為定值，且的的左焦點為，直線與橢圓相交於點、，的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是______。
【答案】，
[解析]根據橢圓定義知：4a=12, 得a=3 , 又
[點評]本題考查對橢圓概念的掌握程度.突出展現高考前的複習要回歸課本的新課標理念.
【點評】解題時要充分利用雙曲線的定義和勾股定理，實現差—積—和的轉化。
15.【2012高考江蘇8】（5分）在平面直角座標系中，若雙曲線的離心率為，則的值為 ▲ ．
【答案】2。
【考點】雙曲線的性質。
【解析】由得。
即，解得。
18.【2012高考安徽文14】過拋物線的焦點的直線交該拋物線於兩點，若，則=______。
【答案】
【解析】設及；則點到準線的距離為
得： 又
三、解答題
20. 【2012高考天津19】（本小題滿分14分）
已知橢圓（a>b>0）,點p（, ）在橢圓上。
（i）求橢圓的離心率。
【解析】(ⅰ) 點在橢圓上
21.【2012高考江蘇19】（16分）如圖，在平面直角座標系中，橢圓的左、右焦點分別為，．已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
【答案】解：（1）由題設知，，由點在橢圓上，得
，∴。由點在橢圓上，得
∴橢圓的方程為。
點差法公式在雙曲線中點弦問題中的妙用
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