張志軍一、能利用定積分來解決的實際問題有什麼特點？
能利用定積分來解決的實際問題，總可歸結為求乙個確定在某一區間上且一般來說在上非均勻分布的量。這個量有以下兩個特點：
1、 對區間具有可加性
設是與變數的變化區間有關的待求量，在內任意插入分點
，把分成個小區間，相應地量也被分成個部分量，那麼等於這些部分量的和，即
2、 能找出部分量的近似表示式
如果對每個部分量可以找到如下形式的近似值
，其中為上的連續函式，那麼待求量的近似值為
我們要求的是的精確值，而用的近似值累加，其誤差也將累加，所以就要求累加的誤差能隨所有而趨於零。因此，希望相應於任一長為的小區間的部分量都滿足表示式：
且當時，（並與無關）。這樣我們可以證明量即可用定積分來計算
二、如何理解和運用微元法來解決可化為定積分的實際問題？
微元法也成為元素法，它是用來化實際問題為定積分問題的一種簡便方法，也是物理學、力學和工程技術上普遍採用的方法。如問題一所述，可化為定積分來計算的待求量有兩個特點，對區間的可加性這一特點，是容易看出來的，因此，關鍵在於另一特點，即找任儀部分量的表示式： （1）
然而，人們往往根據問題的幾何或物理的特徵，自然地將注意力集中於去找這一項上。但不能忘記，這一項與之差，當時，應是比高階的無窮小量，借用微分的記號，將這項記為 （2）
這個量稱為待求量的微元或元素。用定積分來解決實際問題的關鍵就在於求出微元。
若連續，我們由（1）式即知，（2）式表示的微元實際上是的微分，因為在區間上的待求量為 ，
故。因此，要求出在區間上的待求量，先要求出的微分。然後把在上積分，即可求出，這就是所謂微元法或元素法。
按數學的定義，量的微分是它的線性主部，但從工程實際應用的角度看，量的微分就是在一定的條件下，將一些變動的量視為常量而得到的與成正比的的近似值。按此理解，把數學與工程實際應用結合起來考慮，那麼量的微分一般說來就比較易求，同時，化實際問題為定積分問題的步驟也得到了簡化。這是微元法所以得到普遍利用的原因。
關於差，應當是比高階的無窮小量，這一點，在實際應用中一般都不驗證，因為如果對每個問題都要一一驗證，那麼這一方法的應用對將受到限制，但注意到這一點是必要的。當你認為已得到了微元後，便予以積分，若積分結果不符合實際時，再回頭來驗證這一點，定能發現問題。
下面看乙個具體的例子。
將底半徑為，高為的正圓錐的側面，看作是由平面上的直線繞軸旋轉而成的，為了求其體積，先求體積微元，即當很小時將圓台視為圓柱，故 。
若求側面積時，也將小圓台視為圓柱，那麼得到的側面積微元將是，從而 。
上面的結果與我們已知的公式相比教，便知求得的體積是對的，而側面積是錯的。為什麼用的近似的方法相似，而得到的結果卻是乙個對而另乙個錯了呢？
關鍵在於所找的微元是不是待求量的微分，即是不是比高階的無窮小，這一步是必須檢查的。
1、 關於體積有
。因此的確是的微分，故積分的結果符合實際。
2、 關於側面積我們利用中學數學中關於圓弧的長和圓扇形的面積公式，可求得小圓台的側面積為
故與我們前面所找的之差為
容易看出，這個差與是同階無窮小量（當）。故上述不是的微分，積分得出結果當然不對了。從（1）式可以看出，的微分應當是，故 。
這個結果才是正確的。
通過這個問題的分析，主要是加深我們對「微元法」的理解。關鍵是所得到的微元一定要是待求量的微分，然後再積分，才不會錯。
高中物理解題方法3微元法
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