第5章有限條法
5.1 引言
一、 發展概況
有限條法(finite strip method)誕生於二十世紀60年代，一般認為主要創始人有：張佑啟)教授和鮑威爾)、 奧格登)兩人。在1966～2023年間首先用有限條法研究了矩形薄板彎曲問題，後兩人開始於板式橋梁的研究工作。
二、有限條法的力學模型
有限條法可看作是有限元的一種特殊形式或分支，是一種（有限元）半解析法，適應於一些量大麵方的，常用的規則結構形式，採用有限條法可使彈性力學中的二維問題化為一維問題（三維化二維），使總剛方程降階，從而提高效率。
象有限元一樣，有限條法亦需將連續體離散化，所不同的是，不象有限元一樣可沿任意方面離散，而只能沿某一方向。如圖示矩形板，用有限元分析（矩形元）的網格劃分如右圖示，而有限條則是沿x方向等分成若干條帶。
有限條：x方向採用多項式插值函式 （梁函式）
y方向採用三角級數表示：
然後板的位移函式採用一總和函式表示：
5.2 梁函式和基本函式
一、梁函式
梁函式用以表示條元的橫向變化規律。圖示梁有兩個結點(i,j), 每個結點兩個位移:
線位移(撓度)、；
角位移、
任意點的位移函式:
代入邊界條件可得：
[l]為在第二章中推導出的平面梁單元的形函式,此處稱梁函式。
二、基本函式
基本函式用來表示條元的縱向變化規律，將基本函式取為振動梁微分方程（按振動梁微分方程的規律變化）:
根據結構力學中「梁的無限自由度振動」理論可知，其解的一般形式為: (5-2-1)
在結構力學中，上式又稱符拉索夫振動梁函式，式中c1～c4 為由兩端邊界條件確定的待定常數，由不同的支承條件，可得出相應的基本函式。下面介紹幾種常用支承條件的基本函式。
1．兩端簡支
邊界條件：
y(0)=y"(0)=0
y(l)=y"(l)=0
代入式(5-2)得:
或者=π, 2π, 3π……mπ
取, m=1, ,
2. 一端簡支一端固定
邊界條件:
y(0)=y"(0)=0； y(l)=y'(l)=0
特解(基本函式):
，,，,
（m=5,6,…）(特徵方程 tgμ=thμ)。
。諧波圖與簡支梁相似。
3. 兩端固定
邊界條件:
基本函式:
，，，，，（m=5,6,…）
5.3 彎曲板有限條法
一、位移函式
圖a示簡支板,在任意荷載作用下,將產生光滑的變形曲面(位移場), x, y方向的變形曲線分別如圖示,y方向變化規律取為基本函式,x方向變化規律取為梁函式。
現在，沿板的支承方向將其離散成有限個矩形板條。從中取出一典型條元e加以研究，當條元寬度b較窄時, 其位移場可採用多項式f(x)和基本函式y(y)的組合形式表示,如是可得
撓度 ：
5-3-1)
式中f(x)為描述橫向位移變化規律的多項式函式，即，梁函式。y(y)為摸擬板條縱向(y方向)撓度曲線的基本函式。代入得：
其橫向轉角：
5-3-2)
設條元結線i的撓度為,轉角；結線j撓度為,轉角(如圖b)。
定義四個結線位移的表示式為:
(5-3-3)
式中:，，， 為第m個諧波所對應的結線i, j的撓度位移幅值和轉角位移幅值。
將5-3-3代入5-3-1、5-3-2的左邊並消去得:
由此解得:
將其代回5-3-1得用結線位移幅值表示的位移場：
(5-3-4)
式中:是對應於第m個諧波的結線位移幅值列陣。 5-3-5是對應對於第m個諧波的形函式。它與梁函式[l]相比只是增加了乘子「」。
於是板條中任意點的位移用矩陣形式表示為：
(5-3-4』)
二、(沿)結線(i, j)的位移(函式)
實際應用時，通常只計算結線上的位移，將x=0和x=b代入得：
當x=0時, ,
x=b時, ,
所以沿結線i, j的位移:
式中[i]為四階單位矩陣:[i]=[1 1 1 1]
即:結線上沿y方向任意點的位移，是通過由第m個諧波解出的兩結線的位移幅值乘以相應基本函式得到的，其最後的位移是r個諧波的疊加。
三、條元應變與幾何矩陣[b]
由平板理論知：
式中[b]即為彎曲板條的幾何矩陣：
子矩陣的展開形式為:
若取簡支條元, 則式中:
, ,
四、條元內力
彈性矩陣[d]與上章相同，彎、扭矩的正方向如圖示，且應理解為單位長度上的量。
五、條元剛度矩陣的一般形式
由單元剛度矩陣的一般表示式，條元的剛度矩陣
或寫成:
其中子塊:
由於條剛中的子塊[s]mn 是4×4階, 當取到級數的第r項時,則[s]為4r×4r階。 對於不同的支承條件,由於基本函式形式不同,可匯出不同的幾何矩陣, 將其代入上式, 則可求得不同支承條件的條剛。對上式積分可得條剛子塊的顯式如下。
式中：dx , dy, dxy, d1 為各向異性板的彈性係數, 當各向同性時有:
。i1～i5的5個積分式是：
； ；；；
從上述條元剛度矩陣子塊公式中可看出,不同支承條件(基本函式)的條剛元素, 主要體現在基本函式的積分公式上,將不同基本函式表示式代入, 求出其中不同的五個積分，即可得到不同的條元剛度矩陣。
5.4 用有限條法分析簡支彎曲薄板
一、基本函式
由前已知，將符拉索夫振動梁函式微分方程：的通解5-2-1式，代入其邊界條件：y(0)=y"(0)=y(l)=y"(l)=0後, 得簡支條的基本函式為:
二、條元剛度矩陣與條元剛度方程
1．條元剛度矩陣
上節已導得條剛的一般形式為：
上節提到，計算條剛元素時，將涉及以下五個積分：
可以證明，在簡支條元中，由於基本函式的正交性,當m≠n時,上述五個積分均為0。
因此，在簡支條元中，非對角元子塊均為零，即[s]mn =[0](m≠n)。此時，簡支板的條剛可簡化為：
式中:其中:式中，
由於條剛不耦聯，便可乙個諧波乙個諧波的單獨計算，然後再疊加，因此，簡支板是最能體現有限條法優越性的一種情況。另外，從條剛中的元素表示式可見，對應於第m個諧波的條剛，每個元素均隨著諧波號發生變化，這也是與前面單元剛度矩陣不同之處。
2. 條元結線力
與結線位移列陣對應的結線力列陣可表示為:
對應於各諧波的條元結線力，也可由條剛與結線位移的乘積獲得。
3. 條元剛度方程
條剛[s]中的全部非對角元素(子塊)為零，不僅簡化了條剛，更重要的是，使得第m個諧波的結線力只與第m個諧波的結線位移有關，即總剛的非藕聯性。因此，可對每個諧波所對應的結線力（位移）單獨計算，然後再疊加，所以在下面的討論中，我們可將條剛暫時理解為4×4階的。對應於第m個諧波的條元剛度方程為：
三、總剛度矩陣及總剛方程的建立
總剛的形成仍然採用前述直接剛度法，即由各結線的平衡條件建立平衡方程，其過程亦與前述大致相同，現簡述如下：
首先將對應第m個諧波的條剛按結線分塊：
(5-4-3)
條剛中的每個子塊均為2×2。子塊具有兩重下標，內下標ij指示子塊在總剛中的結線位置，外層下標指示子塊對應的諧波號。按結線將其展開得:
然後根據結線平衡條件，即可建立求解結線位移的平衡方程。
例：圖示簡支板，將其劃分成五個條元。根據結線的平衡條件有：
按照在杆系中的相同方法，將m①、m②用5-4-3代替，並將條元結線位移用整體位移代替後,便可得:
m=[s21]m①m+([s22]m①+[s22]m②)mm+[s23]m②m
對每條結線取平衡,均可獲得乙個類似的平衡方程，於是可裝配成總剛：同樣可由「對號入座」的方法形成總剛度方程如下：
由式可見，只有相交於結線i的兩個板條才可能對總剛矩陣i行子塊有「貢獻」，因此，形成總剛的某行時，只需考慮對應結線左，右條剛的子塊。而與其它條元的條剛無關，由於這一特性，使得簡支板總剛的頻寬很小（半頻寬僅為4），與板單元比較, 若上例採用5×5網格, 則未知數n=6×6×3=108, 半頻寬d=3×(7-1)=18, 規模要大得多。對每一諧波求解，可得第m個諧波所對應的結線位移, 重複上述過程，將1～r個諧波的位移疊加即得最後位移(內力)。
由上可見，採用有限條法，不僅可大大提高計算速度，還可視諧波數r的多少，無限逼近其精確解。
四、條元內力
在工程中，板的分析通常是要求獲知其內力（或應力），由條元內力矩陣：
彎矩和扭矩的物理量與在板的基本理論一節中所述相同。
五、荷載等效變換
荷載的等效變換仍然採用有限元中按能量原理推導的一般公式獲得。設結線i, j上對應於第m個諧波的等效結線力為:
則一般公式可與為:
或寫成:
下面給出簡支條在幾種常用荷載下的公式:
1. 均布荷載q
它比均布力作用的兩端固定梁的固端力相比,多了乘子2l/mπ。
2. 集中力
當x0=0時 (在i結線上當x0=0, y0 =l/2(中點)時： ,
3．區域性分布力
式中:； ；
六、邊界條件的處理
當條元的結線邊界為非自由時，必須對結線的邊界約束情況加以處理，即修改總剛度方程。如上例，若為四邊簡支板（如圖），則對應有：
由此可知,可通過處理邊界條件，利用簡支板的條元剛度矩陣計算另兩個邊界為各種不同支承情況的板。如結線邊界為簡支、 固定、自由的情況。
有限元第五章杆繫結構的有限元法
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有限元方法
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