5.1 引言
杆繫結構是工程中應用較為廣泛的結構體系，包括平面或空間形式的梁、桁架、剛架、拱等。其組成形式雖然複雜多樣，但用計算機進行分析時卻較為簡單。杆繫結構中的每個桿件都是乙個明顯的單元。
桿件的兩個端點自然形成有限元法的節點，桿件與桿件之間則用節點相連線。顯然，只要建立起桿件兩端位移與杆端力之間的關係，則整體平衡方程的建立與前幾章完全相同。
杆端位移與杆端力之間的關係，可用多種方法建立，包括前面幾章一直採用的虛功原理，但是採用材料力學、結構力學的某些結論，不僅物理概念清晰、直觀，而且推導過程簡單明瞭。因此，本章將採用這種方法進行單元分析。至於整體平衡方程的建立，則和前面幾章所講的方法一樣，即借助於單位定位向量，利用單元整合法進行。
5.2 平面桁架的有限元分析
平面桁架在計算上有以下幾個特點：
1． 桿件的每個節點僅有兩個線位移；
2． 桿件之間的連線為理想鉸，即在節點處各桿件可相對自由轉動，且桿件軸線交於一點。
3． 外載荷均為作用於節點的集中力。
由於以上特點，所以在理論上各桿件只產生軸向拉、壓力，截面應力分布均勻，材料可得到充分利用，因此桁架結構往往用於大跨結構。
5.2.1 區域性座標系下的單元剛度矩陣
從平面桁架中任取一根桿件作為單元，稱作桁架單元，單元長為l，橫截面面積為a，圖5.1。兩端節點分別用i和j表示，規定從i到j的連線方向為區域性座標軸，垂直於的方向為軸。
圖5.1
由於桁架中各桿只產生軸向力和軸向變形，所以節點i和j只發生沿方向的位移，用和表示，相應的杆端軸力分別用和表示。由虎克定律可推得
將這兩個式子寫成矩陣形式，就是
5.1)
顯然，在區域性座標系下，i、j兩節點沿軸方向的位移，在軸方向的節點力。因此，可以把（5.1）擴大為下面的四階的形式
5.2)
可以簡寫為
5.3)
其中5.4)
稱作桁架單元的單元杆端力向量。
5.5)
稱作桁架單元的杆端位移向量
而5.6)
稱作桁架的單元剛度矩陣，式(5.2)或式(5.3)就是桁架的單元剛度方程，它反映了單元杆端力與杆端位移之間的關係。
5.2.2 整體座標系下的單元剛度矩陣
在乙個複雜的結構中，各個桿件的杆軸方向不盡相同，因而各自的區域性座標系也不盡相同。為了建立結構的整體平衡方程，必須選用乙個統一的公共座標系，稱為整體座標系，用x,y表示。
首先分析單元杆端力在不同座標系中的關係。圖5.2 所示任一單元e，其區域性座標係為0，整體座標係為oxy，由x軸到軸的夾角α以順時針轉向為正。
區域性座標系中的杆端力用、表示。整體座標系中的杆端力則用、表示，如圖5.2所示，顯然。
二者有下列關係。
圖5.2
5.7)
將式(5.7)寫成矩陣：
5.8)
式簡寫為
5.9)
式中稱為單元座標轉換矩陣
5.10)
容易證明，單元座標轉換矩陣是乙個正交矩陣。因此有
5.11)
或5.12)
式中為與同階的單位陣。
結合式(5.12)，由式(5.9)得
5.13)
同理，可以求出單元杆端位移在兩種座標系中的轉換關係。設區域性座標中單元杆端位移向量為，整體座標系中單元杆端位移向量為，則
5.14)
5.15)
式中現在來推導單元剛度矩陣在兩種座標系中的轉換關係。
單元杆端力與杆端位移在整體座標系中的關係式可寫為
5.16)
式中稱為在整體座標系中的單元剛度矩陣。
將式中(5.9)和(5.14)代入(5.3)，得
將此式兩邊各前乘，並利用式(5.12)得
再將上式與式(5.16)比較，可知
5.17)
這就是單元剛度矩陣在兩種座標系中的轉換關係。
5.2.3 整體平衡方程和單元杆端力的計算
整體平衡方程由單元整合法建立，引入約束條件後，求解該方程可得結構的節點位移向量，由式(5.14)可求得單元在區域性座標系下的杆端位移，再利用式(5.1)或式(5.
2)就可求得單元在區域性座標系下的杆端力（軸力）。
5.3 空間桁架的有限元分析
從物理概念和計算特點上講，空間桁架與平面桁架同屬一類結構，各節點均為理想鉸，外載荷均為作用於節點的集中力，各桿件只產生軸向變形，因此，有關平面桁架的基本理論和概念完全適用於空間桁架。只是對於空間桁架單元，每個節點有三個自由度，因此，單元剛度矩陣由4階方陣變為6階方陣。
5.3.1 區域性座標系下的單元剛度矩陣
用和分別表示空間桁架單元在區域性座標系下的杆端力向量和杆端位移向量：
按照與平面桁架單元同樣的分析可得到兩者之間的關係，即空間桁架單元的剛度方程
5.18)
亦可簡寫為
5.19)
5.3.2 整體座標系下的單元剛度矩陣
按照平行桁架區域性座標節點力與整體座標節點力的轉換關係，空間桁架單元端點i的杆端力在區域性座標與整體座標之間有如下的轉換關係
5.20)
或簡寫為
5.21)
式中5.22)
其中表示區域性座標軸與整體座標軸夾角的余弦，等等。同樣另一端點j的杆端力在兩種座標系之間的轉換關係與式(5.21)完全相同，即
5.23)
式中由式(5.21)、(5.23)得單元杆端力在兩種座標系之間的轉換關係
5.24)
或簡寫為
5.25)
式中是單元在區域性座標系下的杆端力向量；
是單元在整體座標系下的杆端力向量。
5.26)
是座標轉換矩陣。容易驗證是個正交矩陣。
由式（5.25）得
5.27)
同理，可以求出空間桁架的杆端位移在兩種座標系中的轉換關係。如用和分別表示區域性座標系和整體座標系中單元杆端位移向量，則得到與式(5.14)、(5.15)相同的式子：
5.28)
5.29)
式中仍然將整體座標系中杆端力與杆端位移的關係寫作
5.30)
按平面桁架單元同樣的推導過程，得
5.31)
可見，所有的轉換關係式與平面桁架單元在形式上完全相同，只是階數不同而已。
整體平衡方程的建立及桿端軸力的計算與平面桁架相同，不再贅述。
5.4 平面剛架的有限元分析
5.4.1 概述
平面剛架是是指桿件的連線點均為剛性節點的平面杆繫結構，在建築工程中通常將立柱（堅直杆）和橫樑（水平杆）組成的剛架結構稱作框架。在實際的框架結構中，有可能部分連線樑和柱的節點為鉸節點。但從受力特點考慮，仍然把它看作剛架型別。
作用於平面剛架的載荷，不僅有直接作用在節點上的集中力或集中力矩，而且也可能有沿著桿件的分布力。
由於各桿件用剛性節點連線，因此，在外力作用下各桿件一般會產生軸力、剪力和彎矩三種內力，以及相應的三種變形，即沿著軸線方向的軸向變形，垂直於軸線的剪下變形，以及桿件截面發生轉動的彎曲變形。
5.4.2 區域性座標系下的單元剛度矩陣
從平面剛架中任取一根桿件作為單元，稱作平面剛架單元，單元長為l，橫截面面積為a，繞z軸的慣性矩為。兩端節點分別用i和j表示，區域性座標系的確定和桁架單元相同，規定從i到j的連線方向為區域性座標軸軸，垂直於的方向為軸，為描述截面轉動方便，取垂直於平面的方向為軸方向，且、、形成右手系。
根據剛架受力變形的特點，平面剛架單元的杆端位移向量和杆端力向量可表示如下
5.32)
現在來推導杆端力和杆端位移之間的關係，由小位移假定，我們可以忽略軸向受力狀態和彎曲受力狀態之間的相互影響，分別推導軸向變形和彎曲變形的剛度方程。
首先，由杆端軸向位移、，可推算出相應的杆端軸向力、：
5.33)
此式與平面桁架單元的剛度方程(5.1)完全相同。
其次，由杆端橫向的位移、和轉角、可推算出相應的杆端橫向力、和杆端力矩、。由等截面直杆的轉角位移方程，得
5.34)
將式(5.33)、(5.34)兩式合在一起，寫成矩陣形式，就得到平面剛架單元的剛度方程：
(5.35)
式簡寫為
5.36)
式中5.37)
稱作平面剛架單元在區域性座標系中的單元剛度矩陣。
5.4.3 整體座標系下的單元剛度矩陣
為了建立平面剛架的整體平衡方程，必須把區域性座標系下單元剛度矩陣和單元節點力向量轉換到整體座標系下，而為了計算單元在區域性座標系下的杆端力，又必須把單元在整體座標系下的位移轉換到區域性座標系下，下面推導這些轉換關係。
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有限元5 有限條法
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