題目： 有限元法的簡介
系部： 機電系
專業： 機械設計製造及其自動化
班級姓名
學號2023年5月 20日
1.有限元法的概述
1.1 什麼是有限元
有限元分析，定義為：將乙個連續系統（物體）分隔成有限個單元，對每乙個單元給出乙個近似解，再將所有單元按照一定的方式進行組合，來模擬或者逼近原來的系統或物體，從而將乙個連續的無限自由度問題簡化成乙個離散的有限自由度問題分析求解的一種數值分析方法。
1.2有限元法的基本思想
許多任務程分析問題，如固體力學中位移場和應力場分析、振動特性分析、傳熱學中的溫度場分析、流動力學中的流場分析等都可歸結為在給定邊界條件下求解其控制方程的問題。
有限元分析的基本概念是用較簡單的問題代替複雜問題後再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定乙個合適的(較簡單的）近似解，然後推導求解這個域總的滿足條件(如結構的平衡條件），從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。
由於大多數實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應各種複雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。
有限元是那些集合在一起能夠表示實際連續域的離散單元。有限元的概念早在幾個世紀前就已產生並得到了應用，例如用多邊形逼近圓來求得圓的周長，但作為一種方法而被提出，則是最近的事。有限元法最初被稱為矩陣近似方法，應用於航空器的結構強度計算，並由於其方便性、實用性和有效性而引起從事力學研究的科學家的濃厚興趣。
經過短短數十年的努力，隨著計算機技術的快速發展和普及，有限元方法迅速從結構工程強度分析計算擴充套件到幾乎所有的科學技術領域，成為一種豐富多彩、應用廣泛並且實用高效的數值分析方法。有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區別在於它的近似性僅限於相對小的子域中。
目前工程中使用的偏微分方程的數值解法主要有三種：有限差分法、有限元法和邊界元法。
有限差分法的出發點是用結點量的差商代表控制方程中的導數。以矩形域二維無源穩定傳熱問題為例，起控制方程為拉普拉斯方程，即無源場中各點的散度為零：
5-1)
邊界條件為
5-2)
式中，為區域內任意點的溫度；n為區域邊界上任意點的外向法線；代表在上給定的溫度（例如左邊界，右邊界為）；代表邊界上給定的熱流密度。
則式中的二階偏導數可用結點溫度的二階差商近似表達為
5-3)
同理5-4)
代入得5-5)
式中，和在結點劃分完畢後是已知的。這樣，式（5-5）即為乙個以和圍繞（i,j)結點的4個結點的u值為未知量的線性代數方程。若區域有m-n個結點個m個邊界結點，則可建立n-m個如式（5-5）所示的線性代數方程，加上式（5-2）所示m個結點的邊界條件就可將所有結點的未知溫度u求出。
有限差分法概念及方法比較簡單，但不適合於求解區域形狀複雜的問題。
邊界元法是一種繼有限元法之後發展起來的一種新數值方法,與有限元法在連續體域內劃分單元的基本思想不同,邊界元法是公在定義域的邊界上劃分單元,用滿足控制議程的函式去逼近邊界條件.所以邊界元法與有限元相比具有單元的未知數少,資料準備簡單等優點.但用邊界元法解非線性問題時,遇到同非線性項相對應的區域積分,這種積分在奇異點附近有強烈的奇異性,使求解遇到困難.
以上所述三種數值解法中，有限元法通用性最好，引用最廣，其基本思想是將問題的求解域劃分為一系列單元，單元之間僅靠結點聯接。單元內部點的待求量可由單元結點量通過選定的函式關係插值求得。由於單元形狀簡單，易於由平衡關係或能量關係建立結點量之間的方程式。
然後將各個單元方程「組集」在一起而形成總體代數方程組，計入邊界條件後即可對方程組求解，單元劃分越細，計算結果就越準確。
有限單元法最早可上溯到20世紀40年代。courant第一次應用定義在三角區域上的分片連續函式和最小位能原理來求解st.venant扭轉問題。
現代有限單元法的第乙個成功的嘗試是在 2023年，turner、clough等人在分析飛機結構時，將鋼架位移法推廣應用於彈性力學平面問題，給出了用三角形單元求得平面應力問題的正確答案。2023年，clough進一步處理了平面彈性問題，並第一次提出了"有限單元法"，使人們認識到它的功效。我國著名力學家，教育家徐芝綸院士（河海大學教授）首次將有限元法引入我國，對它的應用起了很大的推動作用。
1.3有限元法的應用
有限元法的應用範圍很廣泛，它不但可解決工程中的線性問題、非線性問題，而且對於各種不同性質的固體材料，如各向同性和；各向異性材料，粘彈性和年塑性材料以及流體均能求解；另外，對於工程中最普遍意義的非穩態問題也能求解，甚至還可以模擬構件之間的高速碰撞、炸藥的**燃燒和應力波的傳播。目前，有限元法的用途已遍布機械、建築、礦山、冶金、材料、化工、能源、交通、電磁甚至日常生活用品設計分析的各個領域中。
2有限元法的基本步驟
2.1單元劃分
將求解域離散為有限單元。根據基本長變數與座標的關係決定採用一維、二維、三維單元。一維元用線段表示；二維元可為三角形元貨四邊形元；三維元常用四面體元或六面體元。
單元劃分越密，計算精度越高，但計算工作量也越大。通常，在場變數變化劇烈處可將單元取密些，反之則取疏些。
2.2確定插值函式（形函式）
在有限元法中，單元內任一點(x,y,z)的場變數需通過選定的插值形式由單元結點值插值求得，即
式中，m為單元結點自由度總數；是單元自由度列陣，即；稱為單元的形函式矩陣，它與單元結點座標結點數目及插值形式有關。形函式矩陣分量的數目應與單元結點自由度數相等。以二維問題的三結點三角形單元為例，設每一結點只有乙個自由度，則單元中任一點（x,y)處的場可表達為
上式對於單元的任一點均成立。顯然在單元的三結點1、2和3處應有
比較上式左右兩端，顯然有
即對於i，j=1，2，3可寫為
2.3建立單元方程
在上述的例子中，直接根據問題的物理概念建立了單元方程。不過，在一般情況下，特別是二維和三維單元，這種直接法就顯得過於繁雜而難以應用。為此，需要採用更為一般的數學方法，如變分法、加權餘量法或具有明顯物理意義上的虛功原理。
2.4單元組集----建立總體方程組
首先將在單元方程有區域性自由度編號系統擴充套件到總體自由度編號系統中，將單元矩陣元素和列陣元素按照區域性和總體自由度的關係「對號入座」，然後將這種擴充套件了的單元方程相加即得到總體方程組。
2.5計入邊界條件，解方程組
組集後的總體特性矩陣式奇異的，必須計入邊界條件才能求得唯一解，計入邊界條件有三種方法：
2.5.1直接代入法
上述引例中所用的方法，即將自由度的已知量從總體方程組中消去，從而得到一組階數降低了的修正方程。由於這種方法是方程組階數改變，使程式編制複雜化，故程式中一般不採用。
2.5.2對角線元素置1法
由式子5-6）
因為邊界條件，則可將矩陣中與對應的對角線元素置為1，與該對角線元素相應的行和列的其他元素均置為零，右端列陣的相應元素也置為零，即上述式子修正為
這種計入邊界條件的方法簡單，不僅改變原方程的階數和未知量順序；但只適用於邊界條件為零值的情況。
2.5.3對角元素乘大數法
仍以式（5-6）為例。為計入，可將式子中矩陣的第乙個對角線元素（記為乘以一大數（如取）並將原,用代替，則式子變為
那麼上式中的第乙個方程相當於
式中，表示的已知值。
經邊界條件修正過的總體線性代數方程組可採用成熟的解線性代數方程組的程式求解，如對稱帶狀矩陣的高斯校園發等，對於大型方程組則可採用分塊解法或波前發等。這些解法屬於純數值分析問題。
2.5.6後處理計算
根據解方程組後求得的結點基本場變數計算其他有關量，如應變、應力或熱流密度等，視具體問題而定。
3.總剛度矩陣的特性
由前面的討論可知結構的剛度矩陣k是由單元剛度矩陣集合而成，它與單元剛度矩陣類同也具有明顯的物理意義。有限元的求解方程式是結構離散後每個結點的平衡方程。結構剛度矩陣k的任一元素kij的物理意義是：
結構第j個結點位移為單位值而其它結點位移皆為零時，需在第i個結點位移方向上施加的結點力的大小。與單元不同之處在於結構是單元的集合體，每個單元都對結構起一定的作用。由於單元剛度矩陣是對稱和奇異的，由它們整合的結構剛度矩陣k也是對稱和奇異的，也就是說結構至少需給出能限。
有限元方程組的係數矩陣，即總剛度矩陣，與有限元法的特性緊密相關。綜上所述，有限單元法最後建立的方程組的大型係數矩陣k具有以下性質:(1)對稱性（2)奇異性;(3)稀疏性；(4)非零元素呈帶狀分布。
由於方程組的大型，在求解方程時，除引入位移邊界條件使奇異性消失外，其他特點都必須在解方程中予以充分的考慮和利用，以提高解題的效率。
4.談談對有限元的學習
4.1學習有限元的數學基礎知識
學習有限元方法的第一只攔路虎就是數學基礎知識,到底需要哪些必備的數學基礎,才能保證有限元的的順利理解和應用呢?我僅能以本人的認識和水平談一談.
1. 矩陣論：由於涉及到多維廣義座標下的運算，有限元多以矩陣形式表達，力求簡化形式，突出重點。
因此，系統學習矩陣論，是必要的。此處所說的矩陣論是以本科的線性代數為基礎，研究矩陣性質和運算的課程。多數研究生課程體系都會設有本課。
關於矩陣論的優秀教材比比皆是，只要注意選用適合工科院校的學生即可。
2. 泛函和變分：泛函是在是物理和工程研究中發現的一類特殊函式，是在原經典微積分方法基礎上演生出的一類問題，即尋找場函式在積分域上的最優值問題。
變分是泛函極小變化的數學表達，類似於函式的微分或偏微分。變分是泛函研究中重要的運算手段。有限元包括基本原理、有限元格式表達、收斂性和協調性的論證。
泛函和變分是解決這些問題的必備工具。
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