《現代設計方法》作業
關於有限元法的研究
學院：機械工程學院
專業：機械製造及其自動化
0.有限元法
有限元法分析起源於50年代初杆繫結構矩陣的分析。隨後，clough於2023年第一次提出了「有限元法」的概念。其基本思想是利用結構離散化的概念，將連續介質體或複雜結構體劃分成許多有限大小的子區域的集合體，每乙個子區域稱為單元（或元素），單元的集合稱為網格，實際的連續介質體（或結構體）可以看成是這些單元在它們的節點上相互連線而組成的等效集合體；通過對每個單元力學特性的分析，再將各個單元的特性矩陣組整合可以建立整體結構的力學方程式，即力學計算模型；按照所選用計算程式的要求，輸入所需的資料和資訊，運用計算機進行求解。
當前，有限元方法/理論已經發展的相當成熟和完善，而計算機技術的不斷革新，又在很大程度上推進了有限元法分析在工程技術領域的應用。然而，如此快速地推廣和應用使得人們很容易忽視乙個前提，即有限元分析軟體提供的計算結果是否可靠、滿足使用精度的前提，是合理地使用軟體和專業的工程分析。有限元法分析一般包括四個步驟：
物理模型的簡化、數學模型的程式化、計算模型的數值化和計算結果的分析。每乙個步驟在操作過程中都或多或少地引入了誤差，這些誤差的累積最終可能會對計算結果造成災難性的影響，進而蒙蔽我們的認識和判斷。
1.受內壓空心圓筒的軸對稱有限元分析
例圖1.1所示為一無限長的受內壓的軸對稱圓筒，該圓筒置於內徑為120mm的剛性圓孔中，試求圓筒內徑處的位移。結構的材料引數為：，。
圖1 結構圖
對該問題進行有限元分析的過程如下。
（1）結構的離散化與編號
由於該圓筒為無限長，取出中間一段（20mm高），採用兩個三角形軸對稱單元，如圖1.2所示。對該系統進行離散，單元編號及結點編號如圖1.
3所示，有關結點和單元的資訊見表1.1。
圖1.2 有限元模型
圖1.3 節點位移編號及單元編號
表1.1 單元編號及結點編號
結構的結點位移列陣為
(1.1)
結構的結點外載列陣
（1.2）
和為由內壓作用而等效在結點1和結點2上的載荷，其大小為
（1. 3）
約束的支反力矩陣
(1.4)
其中和為結點1和結點2在方向的約束支反力，（，）和（，）為結點3和結點4在方向和方向的約束支反力。
總的結點載荷列陣
（1.5）
（2）各個單元的描述
（3）單元的彈性矩陣為 （1.6）
計算各個單元的剛度矩陣，即
(1.7)
(1.8)
(3)建立整體剛度方程
組裝整體剛度矩陣並形成整體剛度方程，有
1.9)
其中1.10)
(4)邊界條件的處理及剛度方程求解
邊界條件為，，， ，，將其代入方程（1.9）中，有
（1.11）
對該方程進行求解得} （1.12）
2.誤差分析
在上面的例子中，發現有限元法解決實際工程問題產生的誤差主要可能出現在以下幾個方面：
1. 對受內壓空心圓筒的軸進行了模型簡化。簡化為理想的不受邊界條件以及z方向變形的軸，施加了w1=0,w2=0,w3=0,w4=0的邊界條件。
理想化誤差是在有限元法分析開始之前引入的，因此我們不可能通過改進有限元分析技術來達到消除其的目的，而只能通過修改數學模型本身來實現消除其的目的。
2. 有限元法是將實際物體離散成若干單元，進行分析求解。例子中是將一小塊問題離散為2個三角形，4個節點，這是乙個非常簡單的求解，沒有連續性，所以其結果不能反映真是的變形誤差。
在實際問題中，離散化誤差是根植於有限元法分析本身的，因此只能通過改進有限元分析技術或者技巧來盡力消除/減小這方面的誤差，比如採用規則化的單元形狀避免單元在形狀上產生奇異（即單元奇異）、提高單元精度和增加網格密度減小計算方面的誤差等方法。
3. 例題中2個三角單元的計算使用簡單矩陣計算完成，但是在實際問題中，單元數會非常多，計算也會很複雜，計算模型的數值化主要是用數值計算方法（程式求解器）求解、逼近真實的解析值，因而必然存在數值化誤差（numerical error）。數值計算方法的精度（非人為可控）越高，計算結果的誤差就越小，但計算的工作量也越大。
3.小結
現代設計方法基礎有限元法
題目 有限元法的簡介 系部 機電系 專業 機械設計製造及其自動化 班級姓名 學號2010年5月 20日 1.有限元法的概述 1.1 什麼是有限元 有限元分析，定義為 將乙個連續系統 物體 分隔成有限個單元，對每乙個單元給出乙個近似解，再將所有單元按照一定的方式進行組合，來模擬或者逼近原來的系統或物體...
有限元方法
有限元方法 fem 的基礎是變分原理和加權餘量法。其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函式的插值點，將微分方程中的變數改寫成由各變數或其導數的節點值與所選用的插值函式組成的線性表示式，借助於變分原理或加權餘量法，將微分方程離散求解。採用不同的權...
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