雙曲線的定義
雙曲線的性質
弦長公式
1、若直線與圓錐曲線相交於兩點a、b，且分別為a、b的橫座標，
則，，若分別為a、b的縱座標，則。
2、通徑的定義：過焦點且垂直於實軸的直線與雙曲線相交於a、b兩點，則弦長。
3、若弦ab所在直線方程設為，則＝。
4、特別地，焦點弦的弦長的計算是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和後，利用第二定義求解
焦半徑公式
雙曲線（a＞0，b＞0）上有一動點
當在左支上時,
當在右支上時,
注：焦半徑公式是關於的一次函式，具有單調性，當在左支端點時，，當在左支端點時，
等軸雙曲線
（a＞0，b＞0）當時稱雙曲線為等軸雙曲線
1)；2)離心率；
3)兩漸近線互相垂直，分別為y=；
4)等軸雙曲線的方程，；
5)等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項。
共軛雙曲線
以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線。
共軛雙曲線有共同的漸近線； 共軛雙曲線的四個焦點共圓； 它們的離心率的倒數的平方和等於1。
【例】如圖所示，為雙曲線的左焦點，雙曲線上的點與關於軸對稱，則的值是（ ）
a．9b．16c．18d．27
【例】設p為雙曲線上的一點f1、f2是該雙曲線的兩個焦點，若|pf1|：|pf2|=3：2，則△pf1f2的面積為
ab．12cd．24
【例】已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是求雙曲線的方程；
【例】已知雙曲線的漸近線方程是，焦點在座標軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為
【例】已知雙曲線e的中心為原點，f(3,0)是e的焦點，過f的直線l與e相交於a，b兩點，且ab的中點為n(－12，－15)，則e的方程．
【例】已知雙曲線c與雙曲線－=1有公共焦點，且過點（3，2）.求雙曲線c的方程．
【例】已知雙曲線的漸近線方程是，焦點在座標軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為
【例】已知中心在原點的雙曲線c的右焦點為(2,0)，右頂點為(，0)．
(1)求雙曲線c的方程；
(2)若直線：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)與雙曲線c交於不同的兩點m、n，且線段mn的垂直平分線過點a(0，－1)，求實數m的取值範圍．
【例】已知直線與雙曲線交於、點。
（1）求的取值範圍；（2）若以為直徑的圓過座標原點，求實數的值；
（3）是否存在這樣的實數，使、兩點關於直線對稱？若存在，請求出的值；若不存在，說明理由。
【例】已知雙曲線c的中心是原點，右焦點為f，一條漸近線m:,設過點a的直線l的方向向量。
（1） 求雙曲線c的方程；
（2） 若過原點的直線，且a與l的距離為，求k的值；
（3） 證明：當時，在雙曲線c的右支上不存在點q，使之到直線l的距離為.
【例】設雙曲線c：－y2＝1(a＞0)與直線l：x＋y＝1相交於兩個不同的點a、b.
(1)求雙曲線c的離心率e的取值範圍；
(2)設直線l與y軸的交點為p，且＝，求a的值．
【例】已知傾斜角為的直線過點和點，在第一象限，.
(1) 求點的座標；
(2)若直線與雙曲線相交於、兩點，且線段的中點座標為，求的值；
(3)對於平面上任一點，當點**段上運動時，稱的最小值為與線段距離. 已知點在軸上運動，寫出點到線段的距離關於的函式關係式.
【例】設a，b分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左，右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交於m、n兩點，且在雙曲線的右支上存在點d，使＋＝t，求t的值及點d的座標．
方法回顧
1. 以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相交。
2. 以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切。（內切：p在右支；外切：p在左支）
3. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是。
4. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過po作雙曲線的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是。
5. 雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為f1，f 2，點p為雙曲線上任意一
6. 點，則雙曲線的焦點角形的面積為。
7. 設過雙曲線焦點f作直線與雙曲線相交 p、q兩點，a為雙曲線長軸上乙個頂點，鏈結ap 和aq分別交相應於焦點f的雙曲線準線於m、n兩點，則mf⊥nf。
8. 過雙曲線乙個焦點f的直線與雙曲線交於兩點p、q, a1、a2為雙曲線實軸上的頂點，a1p和a2q交於點m，a2p和a1q交於點n，則mf⊥nf。
9. ab是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行於對稱軸的弦，m為ab的中點，則，即。
10. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則被po所平分的中點弦的方程是。
雙曲線方程知識點與講義
雙曲線一 知識點講解 1 雙曲線的定義 平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等於常數 小於 的點的軌跡。其中 兩個定點叫做雙曲線的焦點，焦點間的距離叫做焦距。注意 與 表示雙曲線的一支。表示兩條射線 沒有軌跡 2 雙曲線的標準方程 圖象及幾何性質 3 雙曲線的漸近線 求雙曲線的漸近線，可令其右邊的1為...
雙曲線知識點及題型總結 學生版
到兩個定點f1與f2的距離之差的絕對值等於定長 f1f2 的點的軌跡 為常數 這兩個定點叫雙曲線的焦點 要注意兩點 1 距離之差的絕對值.2 2a f1f2 這兩點與橢圓的定義有本質的不同.當 mf1 mf2 2a時，曲線僅表示焦點f2所對應的一支 當 mf1 mf2 2a時，曲線僅表示焦點f1所對...
雙曲線知識點總結
1 第一定義 到兩個定點f1與f2的距離之差的絕對值等於定長 f1f2 的點的軌跡叫雙曲線 定義表示式描述為 為正常數 這兩個定點叫雙曲線的焦點。要注意兩點 1 距離之差的絕對值。2 2a f1f2 當 mf1 mf2 2a時，曲線僅表示焦點f2所對應的一支 當 mf1 mf2 2a時，曲線僅表示焦...