指導教師：鄭軍
一、 雙曲線的定義：
1. 第一定義：
到兩個定點f1與f2的距離之差的絕對值等於定長（＜|f1f2|）的點的軌跡（（為常數））這兩個定點叫雙曲線的焦點．
要注意兩點：（1）距離之差的絕對值.（2）2a＜|f1f2|.
當|mf1|－|mf2|=2a時，曲線僅表示焦點f2所對應的一支；
當|mf1|－|mf2|=－2a時，曲線僅表示焦點f1所對應的一支；
當2a=|f1f2|時，軌跡是一直線上以f1、f2為端點向外的兩條射線；
當2a＞|f1f2|時，動點軌跡不存在.
2. 第二定義：
動點到一定點f的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數e(e＞1)時，這個動點的軌跡是雙曲線這定點叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準線
二、 雙曲線的標準方程：
（a＞0，b＞0）(焦點在x軸上)；
（a＞0，b＞0）(焦點在y軸上)；
1. 如果項的係數是正數，則焦點在x軸上；如果項的係數是正數，則焦點在y軸上. a不一定大於b.
2. 與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是
3. 雙曲線方程也可設為：
例題：已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，且過點，求雙曲線的軌跡方程。
三、 點與雙曲線的位置關係，直線與雙曲線的位置關係：
1 點與雙曲線：
點在雙曲線的內部
點在雙曲線的外部
點在雙曲線上
2 直線與雙曲線：
（代數法）
設直線，雙曲線聯立解得
1) 時，直線與雙曲線交於兩點（左支乙個點右支乙個點）；
或k不存在時直線與雙曲線沒有交點；
2) 時，
存在時，
若，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交於一點；
若， 時，，直線與雙曲線相交於兩點；
時，，直線與雙曲線相離，沒有交點；
時，直線與雙曲線有乙個交點；
若不存在，時，直線與雙曲線沒有交點；
直線與雙曲線相交於兩點；
3. 過定點的直線與雙曲線的位置關係：
設直線過定點，雙曲線
1).當點在雙曲線內部時：
，直線與雙曲線兩支各有乙個交點；
，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交於一點；
或或不存在時直線與雙曲線的一支有兩個交點；
2).當點在雙曲線上時：
或，直線與雙曲線只交於點；
直線與雙曲線交於兩點（左支乙個點右支乙個點）；
（）或 （）或或不存在，直線與雙曲線在一支上有兩個交點；
當時，或不存在，直線與雙曲線只交於點；
或時直線與雙曲線的一支有兩個交點；
直線與雙曲線交於兩點（左支乙個點右支乙個點）；
3).當點在雙曲線外部時：
當時，，直線與雙曲線兩支各有乙個交點；
或或不存在，直線與雙曲線沒有交點；
當點時，
時，過點的直線與雙曲線相切
時，直線與雙曲線只交於一點；
幾何法：直線與漸近線的位置關係
例：過點的直線和雙曲線，僅有乙個公共點，求直線的方程。
四、 雙曲線與漸近線的關係：
1. 若雙曲線方程為
漸近線方程：
2. 若雙曲線方程為（a＞0，b＞0）
漸近線方程：
3. 若漸近線方程為
雙曲線可設為,.
4. 若雙曲線與有公共漸近線
則雙曲線的方程可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）
五、 雙曲線與切線方程：
1. 雙曲線上一點處的切線方程是.
2. 過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.
3. 雙曲線與直線相切的條件是.
六、 雙曲線的性質：
七、 弦長公式：
若直線與圓錐曲線相交於兩點a、b，且分別為a、b的橫座標，則，若分別為a、b的縱座標，則。
通徑的定義：過焦點且垂直於實軸的直線與雙曲線相交於a、b兩點，則弦長。
若弦ab所在直線方程設為，則＝。
特別地，焦點弦的弦長的計算是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和後，利用第二定義求解，
例：直線與雙曲線相交於兩點，則
八、焦半徑公式：
雙曲線（a＞0，b＞0）上有一動點
當在左支上時,
當在右支上時,
注：焦半徑公式是關於的一次函式，具有單調性，當在左支端點時，，當在左支端點時，
九、等軸雙曲線：
（a＞0，b＞0）當時稱雙曲線為等軸雙曲線；
則：1.；
2.離心率；
3.兩漸近線互相垂直，分別為y=；
4.等軸雙曲線的方程，；
5. 等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項。
十、共軛雙曲線：
1.定義：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線．
2.方程：
3.性質：
共軛雙曲線有共同的漸近線； 共軛雙曲線的四個焦點共圓．
它們的離心率的倒數的平方和等於1。
（a>0;b>0）的焦點為與，且p為曲線上任意一點，。則的面積
焦點三角形面積公式：
雙曲線1. 點p處的切線pt平分△pf1f2在點p處的內角.
2. pt平分△pf1f2在點p處的內角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.
3. 以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相交.
4. 以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內切：p在右支；外切：p在左支）
5. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.
6. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過po作雙曲線的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.
7. 雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為f1，f 2，點p為雙曲線上任意一
8. 點，則雙曲線的焦點角形的面積為.
9. 設過雙曲線焦點f作直線與雙曲線相交 p、q兩點，a為雙曲線長軸上乙個頂點，鏈結ap 和aq分別交相應於焦點f的雙曲線準線於m、n兩點，則mf⊥nf.
10. 過雙曲線乙個焦點f的直線與雙曲線交於兩點p、q, a1、a2為雙曲線實軸上的頂點，a1p和a2q交於點m，a2p和a1q交於點n，則mf⊥nf.
11. ab是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行於對稱軸的弦，m為ab的中點，則，即。
12. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則被po所平分的中點弦的方程是.
13. 目錄
14. 雙曲線知識點 2
15. 1 雙曲線定義： 2
16. 2.雙曲線的標準方程： 2
17. 3.雙曲線的標準方程判別方法是： 2
18. 4.求雙曲線的標準方程 2
19. 5.曲線的簡單幾何性質 2
20. 6曲線的內外部 3
21. 7曲線的方程與漸近線方程的關係 3
22. 8雙曲線的切線方程 3
23. 9線與橢圓相交的弦長公式 3
24. 高考題型解析 4
25. 題型一：雙曲線定義問題 4
26. 題型二：雙曲線的漸近線問題 4
27. 題型三：雙曲線的離心率問題 4
28. 題型四：雙曲線的距離問題 5
29. 題型五：軌跡問題 5
30. 高考例題解析 6
31. 練習題 10
雙曲線知識點總結
1 第一定義 到兩個定點f1與f2的距離之差的絕對值等於定長 f1f2 的點的軌跡叫雙曲線 定義表示式描述為 為正常數 這兩個定點叫雙曲線的焦點。要注意兩點 1 距離之差的絕對值。2 2a f1f2 當 mf1 mf2 2a時，曲線僅表示焦點f2所對應的一支 當 mf1 mf2 2a時，曲線僅表示焦...
雙曲線高考知識點及題型總結
雙曲線高考知識點及題型總結 最新最全 目錄雙曲線知識點 2 1 雙曲線定義 2 2.雙曲線的標準方程 2 3.雙曲線的標準方程判別方法是 2 4.求雙曲線的標準方程 2 5.曲線的簡單幾何性質 2 6曲線的內外部 3 7曲線的方程與漸近線方程的關係 3 8雙曲線的切線方程 3 9線與橢圓相交的弦長公...
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雙曲線一 知識點講解 1 雙曲線的定義 平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等於常數 小於 的點的軌跡。其中 兩個定點叫做雙曲線的焦點，焦點間的距離叫做焦距。注意 與 表示雙曲線的一支。表示兩條射線 沒有軌跡 2 雙曲線的標準方程 圖象及幾何性質 3 雙曲線的漸近線 求雙曲線的漸近線，可令其右邊的1為...