一、知識回顧
1、三角形中位線定理：
2、直角三角形斜邊上中線性質的運用
二、應用舉例
1、直接找線段的中點，應用中位線定理
例1、如圖1所示，在三角形abc中，∠b=2∠c，ad是三角形的高，點m是邊bc的中點，求證：dm=ab。
2、利用等腰三角形的三線合一找中點，應用中位線定理
例2、如圖3所示，在三角形abc中，ad是三角形abc∠bac的角平分線，bd⊥ad，點d是垂足，點e是邊bc的中點，如果ab=6,ac=14，則de的長為
3、利用平行四邊形對角線的交點找中點，應用中位線定理
例3、如圖5所示，ab∥cd，bc∥ad ，de⊥be ，df=ef，甲從b出發，沿著ba、ad、df的方向運動，乙b出發，沿著bc、ce、ef的方向運動，如果兩人的速度是相同的，且同時從b出發，則誰先到達？
例1 如圖1，已知，△abc中，ce⊥ad於e，bd⊥ad於d，bm＝cm.求證：me＝md.
例2 如圖2，bd、ce是高，g、f分別是bc、de的中點，求證：fg⊥de.
例3 如圖3所示，點e、f分別為正方形abcd邊ab、bc的中點，df、ce交於點m，ce的延長線交da的延長線於g，試探索：（1）df與ce的位置關係；（2）ma與dg的大小關係.
例4 已知：如圖4，□abcd中，對角線ac、bd相交於點o，ef⊥ac，o是垂足，ef分別交ab、cd於點e、f，且be＝oe＝ae.求證：□abcd是矩形.
如圖6所示，在梯形abcd中，ab∥cd，∠c+∠d＝90°，e、f為ab、cd的中點.求證：cd－ab＝2ef.
例1 在△abc中，bd平分∠abc，ad⊥bd,垂足為d，ae=ec.求證：de∥bc.
例2 如圖2，四邊形abcd中，對角線ac、bd相交於o，已知ac=bd,m,n分別是ad、bc的中點，mn與ac、bd分別交於e、f點.
求證：∠aen=∠bfm.
三、用於證明線段相等
例3 如圖3，△abc的ab、ac向形外作正三角形abd和ace,分別取bd、bc、ce的中點p、m、q.求證：pm=qm.
四、用於證明線段的特殊關係
例4 如圖4，已知四邊形abcd中，e、f、g、h分別為ab、cd、ac、bd的中點，且e、f、g、h不在同一條直線上，求證：ef和gh互相平分.
巧用中線的性質解題
我們知道三角形的一條中線將三角形分成的兩個三角形等底同高，這樣的兩個三角形的面積相等.下面我們利用上述性質來巧解以下問題.
一、巧算式子的值
例1 在數學活動中，小明為了求…的值（結果用表示），設計了如圖1所示的幾何圖形.請你利用這個幾何圖形求…的值.
圖1解析：從圖中可以看出大三角形的面積為，根據三角形的中線把它分成兩個面積相等的三角形可知，…表示：組成面積為的大三角形的所有小三角形的面積之和，於是….
【點評】此題運用「數形結合思想」，借助三角形的面積來求數的運算.
二、求圖形的面積
例2 如圖，長方形的長為，寬為，、分別是和的中點，、交於點，求四邊形的面積.
圖2解析：連線，不難得出，從而，
由、分別是和的中點，
可得△、△、△、△的面積相等，
因此.【點評】本題的難度較大，通過連線，巧妙地把四邊形以外的部分分成四個面積相等的三角形.像這樣原題中沒有，但我們在解題的過程中用它來「輔助」解決問題的線，稱之為「輔助線」.
三、巧等分土地
例3.有一塊三角形優良品種試驗基地，如圖3所示，由於引進四個優良品種進行對比試驗，需將這塊土地分成面積相等的四塊，請你制定出兩種以上的劃分方案供選擇（畫圖說明）．
圖3解析：可根據中線的特徵，先分為兩個面積相等的三角形，然後再依次等分.
方案1：如答圖（1），在bc上取d、e、f，使bd=ed=ef=fc，連線ae、ed、af．
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方案2：如答圖2，分別取ab、bc、ca的中點d、e、f，連線de、ef、df．
方案3：如答圖3，分別取bc的中點d，cd的中點e，ab的中點f，連線ad、ae、df．
【點評】三角形面積計算公式為×底×高，因此解題的關鍵是找出底、高分別相等的四個三角形．對於本題，同學們！你還有別的方法嗎？試試看．
時到達的。
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