專題:中點的妙用
看到中點該想到什麼？
1、等腰三角形中遇到底邊上的中點，常聯想「三線合一」的性質；
2、直角三角形中遇到斜邊上的中點，常聯想「斜邊上的中線，等於斜邊的一半」；
3、三角形中遇到兩邊的中點，常聯想「三角形的中位線定理」；
4、兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段的中點時，常聯想「八字型」全等三角形）；
5、有中點時常構造垂直平分線；
6、有中點時，常會出現面積的一半（中線平分三角形的面積）；
7、倍長中線
8、圓中遇到弦的中點，常聯想「垂徑定理」
一、等腰三角形中遇到底邊上的中點，常聯想「三線合一」的性質
1、如圖1所示，在△abc中，ab=ac=5，bc=6，點m為bc中點，mn⊥ac於點n，則mn等於（ ）
a． b． c． d．
二、直角三角形中遇到斜邊上的中點，常聯想「斜邊上的中線，等於斜邊的一半」
2、如圖，在ｒｔ⊿abc中，∠a=90°,ac=ab,m、n分別在ac、ab上。且an=bm.o為斜邊bc的中點.試判斷△omn的形狀，並說明理由.
3、如圖，正方形的邊長為2, 將長為2的線段的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時滑動．如果點從點出發，沿圖中所示方向按滑動到點為止，同時點從點出發，沿圖中所示方向按滑動到點為止，那麼在這個過程中，線段的中點所經過的路線圍成的圖形的面積為（ ）
a. 2b. 4－
cd.三、三角形中遇到兩邊的中點，常聯想「三角形的中位線定理」
4、（直接找線段的中點，應用中位線定理）
如圖，已知四邊形abcd的對角線ac與bd相交於點o，且ac=bd，m、n分別是ab、cd的中點，mn分別交bd、ac於點e、f.你能說出oe與of的大小關係並加以證明嗎？
5、（利用等腰三角形的三線合一找中點，應用中位線定理）
如圖所示，在三角形abc中，ad是三角形abc∠bac的角平分線，bd⊥ad，點d是垂足，點e是邊bc的中點，如果ab=6,ac=14，求de的長
6、（綜合使用斜邊中線及中位線性質，證明相等關係問題）
如圖，等腰梯形abcd中，cd∥ab，對角線ac、bd相交於點o，，點s、p、q分別是do、ao、bc的中點.
求證：△spq是等邊三角形。
四、兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段的中點時，常聯想「八字型」全等三角形）
7、如圖：梯形abcd中，∠a=90°,ad//bc,ad=1,bc=2,cd=3,
e為ab中點，求證：de⊥ec
8、如圖甲，在正方形abcd和正方形cgef（cg＞bc）中，點b、c、g在同一直線上，m是ae的中點，（1）**線段md、mf的位置及數量關係，並證明；
（2）將圖甲中的正方形cgef繞點c順時針旋轉，使正方形cgef的對角線ce恰好與正方形abcd的邊bc在同一條直線上，原問題中的其他條件不變。（1）中得到的兩個結論是否發生變化？寫出你的猜想並加以證明
五、有中點時常構造垂直平分線
9、如圖所示，在△abc中，ad是bc邊上中線，∠c=2∠b.ac=bc。
求證：△adc為等邊三角形。
六、有中點時，常會出現面積的一半（中線平分三角形的面積）
10、如圖所示，已知梯形abcd，ad∥bc，點e是cd的中點，連線ae 、 be，
求證：s△abe=s四邊形abcd。
11、如圖，m是abcd中ab邊的中點。cm交bd於點e,則圖中陰影部分面積與abcd面積之比為
12、如圖所示，點e、f分別是矩形abcd的邊ab、bc的中點，連af、ce交於點g，則等於：a、 b、 c、 d、
七、倍長中線
13、如圖，△abc中，d為bc中點，ab=5，ad=6，ac=13。求證：ab⊥ad
14、如圖，點d、e三等分△abc的bc邊，求證：ab+ac>ad+ae
15、如圖，d為線段ab的中點，在ab上取異於d的點c，分別以ac、bc為斜邊在ab同側作等腰直角三角形ace與bcf，鏈結de、df、ef，
求證：△def為等腰直角三角形。
模擬題1．（2011朝陽一模）25．已知：△abc和△ade都是等腰直角三角形，∠abc=∠ade=90°，點m是ce的中點，連線bm.
（1）如圖①，點d在ab上，連線dm，並延長dm交bc於點n，可**得出bd與bm的數量關係為
（2）如圖②，點d不在ab上，（1）中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由.
2（2011石景山二模）．已知：如圖，與為等腰直角三角形，．
（1）如圖1，點、分別在邊、上，聯結，，點為線段的中點，聯結，請你猜想與的數量關係直接寫出答案，不必證明）；
（2）如圖2，在圖1的基礎上，將繞點逆時針旋轉乙個角度()．
①與的數量關係是否仍成立，若成立請證明，若不成立請說明理由；
②求證：．
3（2012豐台二模）在△abc中，d為bc邊的中點，在三角形內部取一點p，使得∠abp=∠acp．過點p作pe⊥ac於點e，pf⊥ab於點f．
（1）如圖1，當ab=ac時，判斷的de與df的數量關係，直接寫出你的結論；
（2）如圖2，當abac，其它條件不變時，（1）中的結論是否發生改變？請說明理由．
圖1圖2
4（2012朝陽二模）如圖，d是△abc中ab邊的中點，△bce和△acf都是等邊三角形，m、n分別是ce、cf的中點.
（1）求證：△dmn是等邊三角形；
（2）連線ef，q是ef中點，cp⊥ef於點p.
求證：dp＝dq.
同學們，如果你覺得解決本題有困難，可以閱讀下面
兩位同學的解題思路作為參考：
小聰同學發現此題條件中有較多的中點，因此考慮構造
三角形的中位線，新增出了一些輔助線；小慧同學想到要
證明線段相等，可通過證明三角形全等，如何構造出相應的三角形呢？她考慮將△ncm繞頂點旋轉到要證的對應線段的位置，由此猜想到了所需構造的三角形的位置.
5（2011海淀一模25）．在rt△abc中，∠acb=90°，tan∠bac=. 點d在邊ac上（不與a，c重合），鏈結bd，f為bd中點.
（1）若過點d作de⊥ab於e，鏈結cf、ef、ce，如圖1． 設，則k
（2）若將圖1中的△ade繞點a旋轉，使得d、e、b三點共線，點f仍為bd中點，如圖2所示．
求證：be-de=2cf；
（3）若bc=6，點d在邊ac的三等分點處，將線段ad繞點a旋轉，點f始終為bd中點，求線段cf長度的最大值．
專題中點的妙用
教學目標 運用三角形的中位線，延長過中點的線段構造全等三角形，利用等腰三角形的三線合一的性質，或直角三角形斜邊的中線等於斜邊的一半，解決有關中點的問題 重點 中點方法的靈活運用 難點 解決中點問題的能力 方法指導 與中點有關的圖形問題，是初中數學的重要題型，除了線段的中點的定義，我們又學過很多與中點...
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