目錄一．數式運算、因式分解、分式、數的開方 1
二．方程（組）、不等式（組）及其應用 10
三．函式及其應用 22
四．圖形與圖形的變換 34
五．三角形及其全等、相似 51
六．四邊形 62
七．解直角三角形 72
八．圓 82
九．概率與統計 94
初三數學複習方法指導 103
專題一運動型問題 112
專題二**性問題 122
專題三應用性問題 128
【課標要求】
1．因式分解
(1)了解因式分解的意義，了解因式分解與整式乘法的聯絡與區別．
(2)掌握因式分解的基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法．
(3)巧用運用因式分解求代數式的值．
2．分式
(1)了解分式、有理式、最簡分式、最簡公分母的概念．
(2)掌握並運用分式的基本性質、約分、通分．
(3)掌握分式的加、減、乘、除、乘方的運算法則及其混合運算(化簡、求值)．
3．數的開方
(1)理解平方根、算術平方根、立方根的意義．會用根號表示數的平方根、立方根．
(2)掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的概念；掌握二次根式的性質．
(3)熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運算法則，要求掌握分母為一項或兩項的無理式的分母有理化，會用它們進行有關實數的簡單四則運算．
【課時分布】
本單元在第一輪複習時大約需要4個課時，下表為內容及課時安排(僅供參考)．
【知識回顧】
1． 知識脈絡
2．基礎知識
(1)因式分解：把乙個多項式化為幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解，也叫分解因式．
(2)因式分解的常用方法：
①提公因式法：．
②公式法：，
，（補充）
③十字相乘法：（補充）
(3)分式的概念：
①形如(a、b是整式，且b中含有字母，b≠0)的式子叫做分式；
整式和分式統稱為有理式；
②分式有意義的條件：分母不為零。如果分母為零，分式就沒有意義．
分式的值等於零的條件：分子等於零並且分母不為零．
(4)分式的基本性質： (其中m是不為零的整式)．利用分式的基本性質進行分式的約分和通分．
(5)分式的運算：分式的運算和分數的運算相仿．
(6)平方根與立方根：
如果乙個數的平方等於a，那麼這個數就叫做a的平方根，記作±．正數有兩個平方根，它們互為相反數；0有乙個平方根是0；負數沒有平方根.正數a的正的平方根叫做a的算術平方根，0的算術平方根是0．非負數a的算術平方根記作．
如果乙個數的立方等於a，那麼這個數就叫做a的立方根，記作．
(7)二次根式的概念：
①形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
②最簡二次根式：乙個二次根式的被開方數的因數是整數，因式是整式且被開方數中不含能開方的因數或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式．
③同類二次根式：當二次根式化成最簡二次根式後，如果被開方數相同，那麼這幾個二次根式叫做同類二次根式．
④把分母中的根號化去，叫做分母有理化．常用方法：
(a＞0).
( a＞0,b＞0,a≠b) .
(8)二次根式的性質：≥0(a≥0)；()＝a(a≥0)；＝；
＝·(a≥0，b≥0)；＝(a≥0，b＞0)．
(9)二次根式的運算:二次根式的加減法只需對同類二次根式進行合併．
二次根式的乘除法是二次根式性質的逆向運用．
二次根式運算結果必須要化為最簡二次根式．
3．能力要求
例1 把下列各式分解因式：
(12)
(34)
(5)【分析】因式分解的一般思維方法是：先看是否有公因式可提，再看能否用公式，二次三項式一般可以考慮用十字相乘法，對於項數為四項或四項以上的，考慮用分組分解法．
【解】(1)原式＝＝．
(2)原式＝＝．
(3)原式＝＝．
(4)原式＝＝.
(5)原式＝＝
＝．【說明】因式分解時要注意以下幾點:
1 提公因式的關鍵是找出公因式(即多項式中各項係數的最大公約數與各項相同因式的最低次冪的積)，公因式可以是單項式，也可以是多項式；當多項式中某一項是公因式時，提取後還有因數1留下防止漏項；
2 運用公式的關鍵是熟悉公式的結構特點，了解公式中a、b的廣泛含義，才能準確、迅速解題；
3 二次三項式一般考慮十字相乘法；
4 對學有餘力的同學可以拓展：運用分組分解法的原則是：分組後，組內有公因式可提或能用公式或十字相乘，然後組與組之間又可以有公因式可提或能用公式或十字相乘；
5 因式分解一定要分解到每乙個因式都不能再分解為止．
例2 (1) 要使分式有意義，則須滿足的條件為 ．
(2) 若分式的值為0，則b的值是 ．
(3)要使二次根式在實數範圍內有意義，則實數a的取值範圍是
(4) 要使式子在實數範圍內有意義，則實數的取值範圍是
【分析】(1)分母不為零時，分式有意義．
(2)分式的值為零，必須滿足分子為零，分母不為零．
(3)二次根式有意義,被開方數不小於0.
(4)二次根式有意義,被開方數不小於0；分母不為零時，分式有意義．
【解】(1)．
(2)∵且， ∴．
(3) ∵, ∴.
(4且.
【說明】(1)、(2)題：分式的分母不為零時，分式有意義；特別是分式為零時，分子為零而忽略分母不為零的條件．第(3)題二次根式，不要忘記a≥0的條件．第（4）題不要忘了分母不為零的條件．
例3 (1)化簡：．
(2)先化簡，再求值：，其中．
（3）先化簡：，然後給選擇乙個你喜歡的數代入求值．
【分析】在進行分式的加減乘除混合運算中，要注意運算順序，先算乘除、再算加減，有括號先算括號裡面的．對於分子、分母是多項式的分式，應先把分子、分母因式分解，然後再約分化簡;分式的化簡求值，需先將所給分式按計算的方法進行化簡，再把條件代入求值，有時可能對條件也要化簡．
【解】(1)原式＝．
(2)原式＝＝=，
∴當時，原式＝
（3）原式＝＝=
（取，1，0以外的任何數，計算正確均可得分）
【說明】分式的計算(或化簡)主要依據分式的約分和通分，運算時要注意觀察式子的特點，靈活運用運算法則，防止盲目繁瑣的運算；若分式的分子、分母是多項式時，可考慮先進行因式分解．分式的計算是考查學生因式分解、通分、約分等運算能力的經典題型，是中考的重要題型之一，複習中要重視．
例4 已知，，則的值為 ( )
a．1 b．2 c．3 d．4
【分析】可以解方程組求出x、y的值，再求代數式的值．如果能發現所求代數式可以因式分解，再整體代入則更為簡單．
【解】＝＝(2)×(1)＝2， 故選b．
【說明】代數式求值問題條件多樣、形式多樣、技巧性較強，因此解題時需要同學們有紮實的基礎、敏銳的觀察力、靈活善變的思維和過硬的計算能力．本題主要考查運用因式分解進行變形，再進行求值，要求學生能夠巧用因式分解來解題．
例5 (1)在二次根式①，②，③，④是同類二次根式的是 ( )．
a．①③ b．②③ c．①④ d．③④
(2) 化簡：．
【分析】(1)解答本題的關鍵是能正確化簡題中的四個二次根式，然後根據被開方數是否相同來選擇與是否為同類二次根式．
(2)二次根式的混合運算要注意運算的順序及化簡的法則．
【解】(1)∵．
∴與是同類二次根式的是①④，故答案選項c．
(2) 解：
【說明】最簡二次根式、同類二次根式是本節內容兩個重要概念，正確理解這兩個概念，是進行二次根式加減運算的前提，因此在總複習時，應加強二次根式的化簡的習題訓練．
例６ (1) 先化簡，再求值：．
(2)已知，求代數式的值．
【分析】(1)化簡本題時可先利用公式來化去根號，然後通過分子、分母因式分解約分化簡．
(2)由於、均為可化簡的二次根式，應先將、進行化簡。而多項式的次數較高，且可以因式分解，因此，容易想到轉化的思想方法，把比較複雜的計算問題簡單化．
【解】(1)∵∴
∴原式＝
(2)∵，
∴，∴．
【說明】(1)本題是分式和二次根式的綜合計算問題，難點是要判斷a-1的正負性．另外，值得注意的是化簡結果後求值的方法，告誡學生不要用通分這種繁瑣的方法去求值．
(2)本題考查學生數學方法是：分母有理化、因式分解、配方法；運用數學思想是：轉化思想、整體思想．教師在複習時要適量地進行有關數學思想和數學方法的滲透.
【複習建議】
1．複習概念時不要死記硬背，要抓住概念中的關鍵詞語，並對相近概念進行辨析，如二次根式與最簡二次根式，這樣有利於由此及彼的掌握概念，加深理解的效果，以達到鞏固概念的目的．
2．複習性質、公式、法則時，要注意運用的條件，並重視對典型例題的變式訓練，熟練掌握運算方法，培養學生的觀察能力，提高運算能力和解題技巧；並注意知識間的聯絡，如分式、二次根式的計算或化簡時常常用到因式分解,例如：對例3、4中代數式的處理.
3．對於立方和(差)公式、十字相乘法、分母有理化等補充內容，要求學生掌握和簡單應用，但不必加深．
4．數學思想方法：(1)轉化思想，如例6；(2)整體思想，如例4、例6．
（一）方程（組）及其應用
【課標要求】
1．能夠根據具體問題中的數量關係，列出方程(組)，解決簡單的問題，體會方程(組)是刻畫現實世界的乙個有效的數學模型．
初三數學中考複習專題指導一
目錄一 數式運算 因式分解 分式 數的開方 1 二 方程 組 不等式 組 及其應用 10 三 函式及其應用 22 四 圖形與圖形的變換 34 五 三角形及其全等 相似 51 六 四邊形 62 七 解直角三角形 72 八 圓 82 九 概率與統計 94 初三數學複習方法指導 103 專題一運動型問題 ...
初三數學中考專題複習
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