摘要：在高中數學教學中，反證法作為一種解題方法，一直備受廣大教師及學生的青睞。縱觀數學這門學科的諸多定理及結論，其中也有不少是用反證法來證明的。
可見，反證法在高中數學中佔據著十分重要的位置。反證法作為一種間接證法，不僅能豐富學生的解題技巧，還能鍛鍊學生的逆向思維，提高綜合素養。本文主要以例項來說明反證法在高中數學解題中的妙用。
關鍵詞：高中數學反證法解題
一、反證法解空間幾何題中的妙用
在蘇科版高中數學教材中，立體幾何佔據著十分重要的地位。在歷年的高考試題中，立體幾何題型也一直是重點考查的題型之一。在一些求證空間關係的空間幾何題當中，用正面求解的方法往往耗時費力，而且難度極大，在有限的考試時間中，這樣的做法是相當不經濟的。
「正難則反」，讓學生掌握反證法，不僅可以豐富學生的「**庫」，提高學生解題的效率，還能開發學生的思維能力，從而提高學生的綜合數學能力。
例，如圖，設sa、sb是圓錐so的兩條母線，o是底面圓心，c是sb上一點。求證：ac與平面sob不垂直。
要求解此題，首先要找到這道題的題眼。此題的關鍵點便是「不垂直」。根據題目給出的資訊，若直接求證直線ac與平面sob不垂直，顯然無從入手。
面對這種情況，引用「正難則反」的思維，這道題完全可以用反證法來求解，假設直線ac與平面sob垂直，再匯出矛盾，從而間接推出直線ac與平面sob不垂直。
解題過程如下：
假設ac⊥平面sob
∵直線so在平面sob內
∴ac⊥so
∵so⊥底面圓o
∴so⊥ab
∴so⊥平面sab
∴平面sab∥底面圓o
這顯然矛盾，因此假設不成立
即ac與平面sob不垂直
從以上例子可以看出，運用反證法解此題，不僅大大降低了解題的難度，而且步驟簡單，思路清晰，解題效率明顯提高。
二、反證法在解方程組題中的妙用
在蘇科版高中數學教材中，函式相關的內容佔據了很大的乙個板塊。方程組可謂是貫穿了整個高中數學教學過程。而在歷年高考中，無論是選擇題、填空題還是大題，都會牽涉到方程組及函式的內容。
因此，學會使用反證法求解方程組，對學生來說無疑是大有益處的。
例，若下列方程：①x2+4ax-4a+3=0,②x2+(a-1)+a2=0,③x2+2ax-2a=0,至少有乙個方程有實根。試求實數a的取值範圍。
這是一道典型的解方程組求取值範圍的題型。根據題意，在三個方程中至少有乙個方程有實根的情況有三種。若此題從正面去解，那麼就需要分別考慮：
①有實根，②、③沒有實根；②有實根，①、③沒有實根；③有實根，①、②沒有實根；①、②有實根，③沒有實根；①、③有實根，②沒有實根；②、③有實根，①沒有實根；①、②、③都有實根這七種情況。從正面解答，不僅繁瑣複雜，容易出錯，而且也效率低下，若是在考試中遇到這類題型，那麼從正面解答就十分延誤時間。因此，「正難則反」，求解這類題型就應當第一時間考慮反證法。
根據題意，①、②、③中至少有乙個方程有實根的反面就是三個方程都沒有實根。因此，只要求解出反面情況時a的取值範圍，所得範圍的補集就是正面情況時的答案。
設三個方程均無實根，則，
求解可得，
則有，則求出該範圍的補集為，
所以當a的取值範圍為時，三個方程至少有乙個方程有實根。
由上述例子可見，運用反證法求解此類題型時，只需要思考一種情況，不僅計算大大簡化，而且正確率也有了保障，答題效率大大提高。可見，反證法在解答這類題型時，具有其獨到的優勢。
三、反證法在解不等式題中的妙用
不等式的計算和求解，一直是高中數學教學中的一塊重點內容。在歷年的高考試題當中，不管是大型的綜合題，還是小型題，不等式的知識點都在其中或有穿插。由於不等式非常考查學生的思維能力以及觀察、計算能力，因此，不等式類題型經常成為廣大數學教師嚴重的難點教學內容。
一般的情況下，求解不等式可以用到「比較法」、「綜合法」和「分析法」等三種通法。但在遇到比較極端，或是正面求解十分繁瑣的題型時，使用「反證法」，無疑會大大的降低解題難度，使問題迎刃而解。下面以一道不等式題為例進行說明。
例，已知a、b＞0，試求證
運用反證法求解此題，先假設成立，則，
∵a、b＞0
∴由可以推出a3+b3﹤ab(a+b)
∴(a+b)(a2－ab+b2) ﹤ab(a+b)
∴a2－ab+b2 ﹤ab
∴a2+b2 ﹤2ab
又∵a、b＞0，a2+b2 ≥2ab，矛盾
∴假設不成立，即有。
在不等式題型的解答中，方法多種多樣，形式各不相同。反證法的引入，雖不能保證一定比綜合法、分析法等方法更快更正確，但是卻豐富了學生的「**庫」，強化了學生的思維能力。
總結：反證法作為高中數學教學中的一種十分重要的解題證明方法，其在不等式、立體幾何以及函式中的應用可謂非常廣泛，歷年的高考試題也將其作為重點考試內容。在反證法的求解步驟中，一般是先對需要求證的結論提出反設，而後再通過數學方法進行歸謬，並最終從矛盾中作出結論。
在運用反證法解題的過程中，學生需要牢記的關鍵之處是匯出矛盾。只有匯出了已知矛盾，或是與公理、定理等的矛盾，才能順利利用反證法解決問題。
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