高二數學鞏固複習學案（十）——平行平面與二面角
一、 基礎知識：
1． 如果兩個平面沒有公共點，我們就說這個平面 。
2． 兩個平面的位置關係有且只有兩種：
（1沒有公共點；
（2有一條公共直線。
3． 兩個平面平行的判定：
判定定理1：如果乙個平面內有兩條直線都平行於另乙個平面，那麼這兩個平面平行。
判定定理2： 於同一條直線的兩個平面平行。
4． 兩個平面平行的性質：
性質1：如果兩個平面平行，那麼其中乙個平面內的直線於另乙個平面。
性質2：性質定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線 。
性質3：兩個一條直線垂直於兩個平行平面中的乙個平面，那麼它也於另乙個平面。
5． 和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平行平面的 ，它夾在這兩個平行平面間部分，叫做這兩個平行平面的 。
6． 兩個平行平面的公垂線段都 ，我們把公垂線段的叫做兩個平行平面的距離。
7． 平面內的一條直線把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做 ，從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做 ，這條直線叫做二面角的 ，這兩個半平面叫做二面角的 。
8． 以二面角的稜上任意一點為端點，在兩個麵內分別作垂直於稜的兩個射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的 。
9． 二面角的大小，可以用它的來度量，二面角的大小範圍是 。
10． 平面角是直角的二面角叫做 。
二、 基本方法：
1． 兩個平面的位置關係有且只有兩種，平行、相交，排除了其中一種，就得到另一種。因此可利用它通過反證法來判定兩個平面平行或相交。
2． 性質1是判定直線與平面平行的依據；性質2（性質定理）是判定直線與直線平行的依據；性質3是判定直線與平面垂直的依據。
3． 二面角的求法：
（1） 求二面角的大小，就是求它的平面角的大小。因此求二面角的大小時，要先作出二面角的平面角。作二面角的平面角的方法有以下三種：
1 定義法：在二面角的稜上任取一點，過這點在兩個麵內作與稜垂直的射線，這兩條射線構成二面角的平面角；
2 垂面法：過稜上一點作稜的垂面，這個垂面與二面角的兩個半平面的交線構成二面角的平面角；
3 三垂線法：過乙個麵內的乙個點作另乙個面(或其所在的平面)的垂線，從垂足作稜的垂線，鏈結這點和稜上的垂足，得平面角(也可用三垂線定理的逆定理來作)。
（2） 在解決有關二面角的問題時，無論是給出二面角的大小，還是求二面角的大小，都要作出二面角的平面角。作二面角的平面角時，需要找到或作出二面角的稜。
（3） 求二面角大小的步驟是「一作」、「二證」、「三計算」。作出二面角的平面角後，解含有這個角的三角形，是常用方法。將來也可用證兩個面所在的平面垂直來得出二面角大小是90度。
（4） 有時，我們也可以用「射影面積」關係：，求二面角的大小，其中是在平面內的射影三角形的面積，是所在平面與平面所成的銳二面角的平面角。
三、 練習題：
1． 在稜長為的正方體中。
（1） 求證：平面平面；
（2） 求平面和平面的距離。
（3） 設e、f分別是稜上的點，且，平面與平面所成的銳二面角大小為，求。
2． 在正方形abcd－a1b1c1d1中，e，f，m，n分別是 ab，cc1，aa1，c1d1的中點，求證：平面cem∥平面bfn．
3． 三條射線op、oq、or兩兩成60度的角，求二面角q-op-r的大小。
4． 自二面角內一點分別向兩個麵引垂線。求證：它們所成的角與二面角的平面角互補。
5． 如圖，在底面是直角梯形的四稜錐s－abcd中，∠abc＝90°，sa⊥底面abcd，sa＝ab＝bc＝2a，ad＝a。
（1） 求面scd與面sba所成二面角的大小；
（2） 求面sad與面sbc所成二面角的大小。
6． 已知二面角是60°的二面角，到的距離分別為5、8，求a、b在稜上射影之間的距離。
7． 已知的邊bc在平面內，頂點a不在平面內，點a在平面內的射影為點，平面abc與平面所成的銳二面角的大小為，求證：。
8． 如圖，正方形 abcd所在平面與正方形abef所在平面成60°的二面角，求異面直線ad與bf所成角的余弦值。
9． 在長方體abcd—a1b1c1d1中，已知ab= 4， ad =3， aa1= 2. e、f分別是線段ab、bc上的點，且eb= fb=1。求二面角c—de—c1的正切值。
10． 如圖，pd垂直於正方形abcd所在平面。求二面角c－pb－d的大小.
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