1. 已知函式.
(1)若在實數集r上單調遞增，求實數的取值範圍；
（2）是否存在實數,使在上單調遞減？若存在，求出的取值範圍；若不存在，說明理由；
（3）證明：的圖象不可能總在直線的上方.
（1）解由已知f′(x)=3x2-a,
∵f(x)在（-∞,+∞）上是單調增函式，
∴f′(x)=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恆成立，
即a≤3x2對x∈r恆成立.
∵3x2≥0,∴只需a≤0,
又a=0時，f′(x)=3x2≥0,
故f(x)=x3-1在r上是增函式，則a≤0.
（2）解由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恆成立，
得a≥3x2,x∈(-1,1)恆成立.
∵-1＜x＜1,∴3x2＜3,∴只需a≥3.
當a=3時，f′(x)=3(x2-1),
在x∈(-1,1)上，f′(x)＜0,
即f(x)在（-1，1）上為減函式，∴a≥3.
故存在實數a≥3,使f(x)在（-1，1）上單調遞減.
（3）證明 ∵f(-1)=a-2＜a,
∴f(x)的圖象不可能總在直線y=a的上方.
2. 已知．
（１）當時,判斷在定義域上的單調性；
（２）若在上的最小值為,求的值；
（３）若在上恆成立,試求的取值範圍．
答案：（1）增函式；
（2）（3）
3. 已知函式.
（ⅰ）求的最小值；
（ⅱ）若對所有都有，求實數的取值範圍.
【解題思路】先求極值再求端點值,比較求出最大(小)值.當區間只有乙個極大(小)值時,該值就是最大(小)值
解析：的定義域為， …………1分
的導數3分
令，解得；令，解得.
從而在單調遞減，在單調遞增. ………………5分
所以，當時，取得最小值6分
（ⅱ）解法一：令，則8分
若，當時，，
故在上為增函式，
所以，時，，即10分
若，方程的根為，
此時，若，則，故在該區間為減函式.
所以時，，
即，與題設相矛盾13分
綜上，滿足條件的的取值範圍是14分
解法二：依題意，得在上恆成立，
即不等式對於恆成立8分
令， 則10分
當時，因為，
故是上的增函式， 所以的最小值是， ……………… 13分
所以的取值範圍是14分
【名師指引】求函式在閉區間上的最大值（或最小值）的步驟：①求在內的極大（小）值，將極大（小）值與端點處的函式值進行比較，其中較大者的乙個是最大者，較小的乙個是最小者．
4. 已知函式在處取得極值.
（ⅰ）求函式的解析式；
（ⅱ）求證：對於區間上任意兩個自變數的值，都有；
（ⅲ）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值範圍.
解：（i）f′(x)=3ax2+2bx－3，依題意，f′(1)=f′(－1)=0，
即2分解得a=1，b=0.
∴f(x)=x3－3x4分
（ii）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
當－1fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－26分
∵對於區間[－1，1]上任意兩個自變數的值x1，x2，
都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|
|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=48分
（iii）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
曲線方程為y=x3－3x，∴點a（1，m）不在曲線上.
設切點為m（x0，y0），則點m的座標滿足
因，故切線的斜率為
，整理得.
∵過點a（1，m）可作曲線的三條切線，
∴關於x0方程=0有三個實根.……………………10分
設g(x0)=，則g′(x0)=6，
由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.
∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減.
∴函式g(x0)=的極值點為x0=0，x0=1………………12分
∴關於x0方程=0有三個實根的充要條件是
，解得－3故所求的實數a的取值範圍是－35. 設函式；
（1）當時，求函式影象上的點到直線距離的最小值；
（2）是否存在正實數，使得不等式對一切正實數都成立？若存在，求出的取值範圍；若不存在，請說明理由。
解：（1）由，得，令，得2分
所求距離的最小值即為到直線的距離…… …………4分
7分（2）假設存在正數，令，則…… ……9分
由得時，，為減函式；
當時，，為增函式12分
14分 即
所以的取值範圍是16分
6. 已知函式在是增函式,在(0,1)為減函式
(1)求、的表示式
(2)求證:當時,方程有唯一解;
(3)當時,若在∈內恆成立,求的取值範圍.
解 (1)依題意,即,
上式恆成立,∴ ①
又,依題意,即,
上式恆成立,∴ ②
由①②得 ∴
(2)由(1)可知,方程,
設,令,並由得解知
令由列表分析:
知在處有乙個最小值0,
當時,＞0,
∴在(0,+)上只有乙個解.
即當x＞0時,方程有唯一解
(3)設
在為減函式又
所以：為所求範圍
1. 已知函式．
（1）求的值域；
（2）設，函式．若對任意，總存在，使．求實數的取值範圍．
解：方法1、當時1分
當時，且3分
當且僅當，即時成立4分
所以當時，的值域是5分
方法二、對函式求導2分
令得或．
當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減3分
又所以當，的值域是5分
（2）設函式在上的值域是．
對任意，總存在，使7分
對函式求導8分
當時，若，，所以函式在上單調遞減．
，當時，不滿足10分
當時，令，得或（捨去）．
（）當，時，列表：
，又，，解得13分
（）當，時，，函式在上單調遞減，
， 當時，不滿足 -15分
綜上，實數的取值範圍是16分
2. 已知定義在上的奇函式（），當時，取極小值（1）求的值；
（2）當時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結論.
（3）求證:對,都有
．解（1）∵函式圖象關於原點對稱，∴對任意實數，
∴，即恆成立4分
∴，∵時，取極小值,∴，
解得8分
（2）當時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立. …………10分
假設圖象上存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直，
則由知兩點處的切線斜率分別為
且13分
、， 此與（*）相矛盾，故假設不成立16分
(3) 令,則;
又所以在上的最大值為;最小值為
所以,對,都有
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