題型一運用導數證明不等式問題
例1 設a為實數，函式f(x)＝ex－2x＋2a，x∈r.
(1)求f(x)的單調區間與極值；
(2)求證：當a>ln 2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.
設f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥m成立，求滿足上述條件的最大整數m；
(2)如果對任意的s，t∈都有f(s)≥g(t)成立，求實數a的取值範圍．
題型二利用導數研究恆成立問題
例2 已知函式f(x)＝ln x－.
(1)若a>0，試判斷f(x)在定義域內的單調性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值為，求a的值；
(3)若f(x) 已知函式f(x)＝ax3－3x＋1對x∈(0,1]總有f(x)≥0成立，則實數a的取值範圍是
題型三生活中的優化問題
例3 為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外牆需要建造隔熱層．某幢建築物要建造可使用20年的隔熱層，每厘公尺厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建築物每年的能源消耗費用c(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關係：
c(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
(1)求k的值及f(x)的表示式；
(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，並求最小值．
現需要對某旅遊景點進一步改造公升級，提高旅遊增加值，經過市場調查，旅遊增加值y萬元與投入x萬元之間滿足：y＝x－ax2－ln，∈[t，＋∞)，其中t為大於的常數．當x＝10時，y＝9.2.
(1)求y＝f(x)的解析式和投入x的取值範圍；
(2)求旅遊增加值y取得最大值時對應的x值．
題型四導數與不等式的綜合問題
例4 設函式f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲線y＝f(x)過p(1,0)，且在p點處的切線斜率為2.
(1)求a，b的值；
(2)證明：f(x)≤2x－2.
變式訓練4 已知函式f(x)＝x2＋aln x.
(1)若a＝－1，求函式f(x)的極值，並指出是極大值還是極小值；
(2)若a＝1，求函式f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求證：在區間[1，＋∞)上，函式f(x)的影象在函式g(x)＝x3的影象的下方．
1． 已知函式f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實數a的取值範圍是( )
a．(－1,2) b．(－∞，－3)∪(6c．(－3,6d．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
2． 曲線y＝f(x)＝ex在點(2，e2)處的切線與座標軸所圍三角形的面積為
a. e2b．2e2c．e2d.
3． 已知函式f(x)＝x2＋mx＋ln x是單調遞增函式，則m的取值範圍是
a．m>－2b．m≥－2 c．m<2d．m≤2
4． 某公司生產某種產品，固定成本為20 000元，每生產一單位產品，成本增加100元，已知總營業收入r與年產量x的年關係是r＝r(x)＝則總利潤最大時，每年生產的產品是 ( )
a．100b．150c．200d．300
5． 函式f(x)＝ex(sin x＋cos x)在區間上的值域為
ab. c．[1，ed．(1，e)
6． 若函式f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值為，則a的值為 ( )
abc.＋1d.－1
7． 已知對任意x∈r，恒有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且當x>0時，f′(x)>0，g′(x)>0，則當x<0時有 ( )
a．f′(x)>0，g′(x)>0 b．f′(x)>0，g′(x)<0 c．f′(x)<0，g′(x)>0 d．f′(x)<0，g′(x)<0
8． 已知函式f(x)＝＋ln x，若函式f(x)在[1，＋∞)上是增加的，則正實數a的取值範圍為________．
9． 已知函式f(x)＝x2(x－a)．
若f(x)在(2,3)上單調，則實數a的取值範圍是
若f(x)在(2,3)上不單調，則實數a的取值範圍是
10. 如圖，水波的半徑以50 cm/s的速度向外擴張，當半徑為250 cm時，水波面的圓面積的膨脹率是cm2/s.
11． 若函式f(x)＝x＋asin x在r上遞增，則實數a的取值範圍為________．
12． 若函式f(x)＝x3－3x＋a有3個不同的零點，則實數a的取值範圍是
13． 若f(x)＝，014． 從邊長為10 cm×16 cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形，作成乙個無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為________．
15． 設p為曲線c：y＝f(x)＝x2－x＋1上一點，曲線c在點p處的切線的斜率的範圍是[－1,3]，則點p縱座標的取值範圍是
16． 已知函式f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m、n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是________．
17．已知函式f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值．
(1)求函式f(x)的解析式；
(2)若過點a(1，m)(m≠－2)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數m的取值範圍．
18．某汽運集團公司生產一種品牌汽車，上年度成本價為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5萬輛．本年度公司為了進一步擴大市場占有量，計畫降低成本，實行降價銷售．設本年度成本價比上年度降低了x (0(1)若本年度年銷售量比上年度增加了0.6x倍，問x在什麼取值範圍時，本年度的年利潤比上年度有所增加？
(2)若本年度年銷售量y關於x的函式為y＝2 011·，則當x為何值時，本年度年利潤最大？
19．已知a∈r，函式f(x)＝4x3－2ax＋a.
(1)求f(x)的單調區間；
(2)證明：當0≤x≤1時，f(x)＋|2－a|>0.
20．已知函式f(x)＝ax＋x2，g(x)＝xln a，a>1.
(1)求證函式f(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
(2)若函式y＝－3有四個零點，求b的取值範圍；
(3)若對於任意的x1，x2∈[－1,1]時，都有|f(x2)－f(x1)|≤e2－2恆成立，求a的取值範圍．
導數的應用
1． 利用導數解決生活中的優化問題的一般步驟
(1)分析實際問題中各量之間的關係，列出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變數之間的函式關係式y＝f(x)；
(2)求函式的導數f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比較函式在區間端點和f′(x)＝0的點的函式值的大小，最大(小)者為最大(小)值；
(4)回歸實際問題作答．
2． 不等式問題
(1)證明不等式時，可建構函式，將問題轉化為函式的極值或最值問題．
(2)求解不等式恆成立問題時，可以考慮將引數分離出來，將引數範圍問題轉化為研究新函式的值域問題．
題型一運用導數證明不等式問題
例1 設a為實數，函式f(x)＝ex－2x＋2a，x∈r.
(1)求f(x)的單調區間與極值；
(2)求證：當a>ln 2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.
導數的應用
14.3導數的應用 知識網路 1 了解函式的單調性與導數的關係 能利用導數研究函式的單調性 會求不超過三次的多項式函式的單調區間 2 結合函式圖象，了解函式在某點取得極值的必要條件和充分條件 會用導數求不超過三次的多項式函式的極大值 極小值 以及在給定區間上不超過三次的多項式函式的最大值 最小值 3...
導數的應用
1.已知函式.1 若在實數集r上單調遞增，求實數的取值範圍 2 是否存在實數,使在上單調遞減？若存在，求出的取值範圍 若不存在，說明理由 3 證明 的圖象不可能總在直線的上方.1 解由已知f x 3x2 a,f x 在 上是單調增函式，f x 3x2 a 0在 上恆成立，即a 3x2對x r恆成立....
導數的應用
函式與方程080613 一 考題選析 例1 07廣東 設是至少含有兩個元素的集合，在上定義了乙個二元運算 即對任意的，對於有序元素對 在中有唯一確定的元素與之對應 若對任意的，有，則對任意的，下列等式中不恆成立的是ab cd 例2 07廣東20 已知是實數，函式，如果函式在區間上有零點，求的取值範圍...