第一節微分中值定理
一、費馬（fermat）定理
設在點的某鄰域內有定義，且在點可導．如果恒有成立，則．
注：fermat定理的幾何意義是：
如果在點的值不小於鄰近的函式值（或不大於鄰近的函式值），只要在點曲線有切線，其切線必為水平的．
二、羅爾(rolle)定理
如果函式滿足：（1）在上連續；（2）在內可導；（3）則在內至少存在一點，使
注：（１）rolle定理的幾何意義是：如果每一點都有切線的連續曲線ab：，在a，b兩點有相同的縱座標，則a，b之間至少存在一點p，曲線在點p有水平切線．
（２）rolle定理的條件是充分而非必要，即當定理的條件不滿足時，結論也可能成立．
如在內可導，儘管在上不連續，但還是有．
【例】設，證明有三個實根．
提示：且在三個區間和上都滿足rolle定理的條件．
在內分別至少存在一點使．即至少有三個實根．
又是三次方程，最多只有三個實根．
綜上可得：有三個實根．
【例】設在上連續，在內可導且，．證明：在內至少存在一點使．
分析：要證明只需證明只需證明只需證明只需證明即可．
提示：令，在上連續，在內可導，在上連續且在內可導．由可得即在上滿足rolle定理的條件，則在內至少存在一點使
，，由得
【例】設在上連續，在內可導且證明：在內至少存在一點使
提示：令，可驗證在上滿足rolle定理的條件，則在內至少存在一點使
即思考題：設在上連續，在內可導，證明：在內至少存在一點，使．
提示：令．
三、拉格朗日（lagrange）中值定理
如果函式滿足：（1）在上連續；（2）在內可導．則在內至少存在一點，使
注：（１）lagrange定理的幾何意義是：
如果連續曲線ａｂ：每一點都有切線，則a，b之間至少存在一點p，曲線在點p的切線平行a，b兩點的連線．
（２）lagrange定理的條件是充分而非必要．即當定理的條件不滿足時，結論也可能成立．如在內可導，儘管在上不連續，但在內還是存在滿足定理的結論．
推論1：如果在內，則在內為一常數．
推論２：若在內則（常數）．
【例】若，證明
提示：設它在上滿足lagrange定理的條件，則在內至少存在一點，使
由於，由可得
【例】若證明
提示：令它在或上滿足lagrange定理的條件．
當時，則在內至少存在一點，使
當時，則在內至少存在一點，使．
． 綜上可得：當，有.
四、柯西（cauchy）中值定理
如果函式和滿足:（1）在上連續；（2）在內可導且則在內至少存在一點，使
注：（１）在柯西（cauchy）中值定理中令就得到拉格朗日（lagrange）中值定理．
（２）柯西（cauchy）中值定理的條件是充分而非必要，即當定理的條件不滿足時，結論也可能成立．
【例】設證明：
提示： 在處可導，在處連續，
由lagrange定理得：在0與之間至少存在一點使得
由得單調增加．
當時，當時，當時，綜上可得：
【例】已知在上有連續導數，且證明：在內有且僅有乙個零點．
提示： 單調增加，又從而在內最多有乙個零點．
當時，由已知得在上滿足lagrange定理的條件，在0與之間至少存在一點使得
由此，又由零點定理可知，在內至少有乙個零點．
綜上可得：在內有且僅有乙個零點．
【例】假設在上存在二階導數，並且
證明：（１）在內
（２）在內至少存在一點使得
提示：（１）假設使則由rolle定理，使再由rolle定理，使與在內矛盾．
所以，在內
（２）要證只需證明在內存在零點．
令則在上滿足rolle定理的條件，使得
作業：習題３－１
６ ７ ８ ９
第二節洛必達（）法則
若在的某乙個變化過程中，函式與同時趨於0或同時趨於，這時極限可能存在，也可能不存在，通常把這種極限稱為型或型的不定式．
如: 一、型不定式
定理：設函式與滿足：（１）在點的某去心鄰域內可導且（２）（３）存在（或）．則也存在（或）且
【例】計算：
提示：原式
提示：原式
注：(1)此法則對於時的型亦適用．
如： (2)並不是任何的型不定式都能用洛必達（）法則.當洛必達法則條件不滿足時，就不能使用．
如: 而用洛必達法則，那麼不存在.
(3)由於數列沒有導數,所以,數列的極限不能用洛必達（）法則.
如: 這種求法是錯誤的.我們可以使用洛必達（）法則求相應的函式的極限
可以推之數列極限
(4)不能用法則證明極限.
因為在這個過程中運用了導數公式,而的推導又用到了,從而在邏輯上產生了惡性迴圈. 所以,不能用法則證明極限.
(4)只要滿足法則的條件, 在同乙個題中可以多次使用法則.
二、型不定式
定理：設函式與滿足：
（１）在內可導且
（２）（３）存在（或）．
則也存在（或）且
注:(1)此法則對於時的型亦適用．
(2)並不是任何的型不定式都能用洛必達（）法則.當洛必達法則條件不滿足時，就不能使用．
(3)只要滿足法則的條件, 在同乙個題中可以多次使用法則.
例如:求極限如,如果用法則來求,那麼
不存在,這就錯了.
【例】計算：
提示：（１）原式
（2）原式
三、其他型不定式：
1．型：化為型或求解.
【例】2．型:通分化為型或求解.
【例】3．型:屬於冪指函式,通過取對數,化為型或求解.
【例】由前面的例題可得原式＝１．
4．型: 屬於冪指函式,通過取對數,化為型或求解.
【例】5．型: 屬於冪指函式,通過取對數,化為型或求解.
【例】注：洛必達法則與其他方法結合使用，可以減少運算量.
作業：習題３―２
第１題的偶數題；
２ ３
第三節泰勒（）公式
一、定理
若函式在含有點的某開區間內有直到階的導數，則當在內時，有
其中（在與之間）稱為拉格朗日餘項．
稱為皮亞諾餘項．
注：（1）在不需要餘項的精確表達時，可以用表示．
（2）當時，公式變為拉格朗日中值定理．
【例】將展開為的多項式．
提示：取可求出
代入公式可得
【例】將展開為的多項式，並利用展開式的前五項計算的值．
提示：其中（在與之間）．
從而其中
取代入得
誤差二、麥克勞林（maclaurin）公式
在定理中令得麥克勞林（maclaurin）公式：
其中（在與之間）
或【例】寫出的麥克勞林展開式．
提示：【例】寫出的麥克勞林展開式．
提示：作業：習題３－３
第四節函式的單調性與曲線的凹凸性
一、函式單調性的判定
定理：設在上連續，在內可導，若有（或），則在內單調增加（或單調減少）．
注：（１）導數不存在的點也可能是增減區間的分界點．
如在處的導數不存在，但的左方函式單調減少，右方函式單調增加．
（２）求函式單調區間的步驟：
第一步：求定義域；
第二步：求的根（駐點）和不存在的點；
第三步：用第二步中求出的點將劃分為幾個小區間；
第四步：判定在每乙個小區間內的符號；
第五步：確定單調區間．
【例】求下列函式的單調區間
（1）提示：（１）函式的定義域為
由得駐點這兩個駐點將定義域分成三個區間
當時單調增加；
當時單調減少；
當時單調增加．
提示：函式的定義域為
由當和時函式單調增加；
當和時函式單調減少．
【例】證明：當時，
證明：令（）
所以在內單調增加，從而
即： 【例】討論方程有幾個實根？
提示：令則則方程根的個數為的影象與軸交點的個數．
在單調增加，在單調減少．
(1)當即時，
與軸有兩個交點方程有兩個實根；
（2）當即時，
與軸有乙個交點
方程有乙個實根；
（3）當即時，
與軸無交點
方程無實根．
二、曲線的凹凸性與拐點
1． 定義：若曲線弧位於其每一點處的切線的上方，則稱此曲線弧是凹弧；若曲線弧位於其每一點處的切線的下方，則稱此曲線弧是凸弧．
2．判定：設函式在上連續，在內具有一階和二階導數，那麼
（1）在內在上是凹的；
（2）在內在上是凸的．
注：【1】連續曲線上凹凸弧的分界點（即的點）稱為曲線的拐點．
【2】二階導數不存在的點也可能是拐點．
如： 儘管不存在，但的左右兩邊的符號不同，所以是的拐點．
３．求曲線凹凸區間和拐點的基本步驟：
第一步：求函式的定義域和.
第二步:求的實根和不存在的點.
第三步:判斷第二步中求出的每乙個點左右兩邊二階導數的符號.
第四步:確定拐點和凹凸區間.
【例】求下列曲線的凹凸區間和拐點.
提示:(1)函式的定義域為
當時,;當時,.
所以,曲線的凹區間為凸區間為拐點為
(2)函式的定義域為
,.當時當或時.
所以,曲線的凹區間為凸區間為拐點為
【例】利用函式圖形的凹凸性證明不等式
證明:令則曲線是凹的,因此,有即
證明:令則曲線是凹的,
因此,有
即(3)
證明:令,則曲線是凹的,
因此有,
即作業：習題３－４
第五節函式的極值與最大值最小值
一、函式的極值及其求法
1．極值的概念
設函式在的某鄰域內有定義，
（1）若有為極大值，為極大值點．
（2）若有為極小值，為極小值點．
注:極值是乙個區域性概念,其定義中的究竟有多大無關緊要.
2．極值判別法
（1）必要條件
定理：設在點有極值且存在，則
注: 若則稱為駐點．駐點是可能極值點．
如：是和的駐點，是的極小值點，但不是的極值點.
（2）充分條件
定理(第一充分條件):設在處連續,在內可導．
（1）若為極大值；
（2）若為極小值.
注：（1）不存在的點也可能為極值點.
如：在處不可導，但在處有極小值.
（2）用第一充分條件求極值的步驟為：
第一步：求出的根和不存在的點；
第二步：判斷在這些點的兩側符號變化情況，確定極值點；
第三步：求出極值.
【例】求的極值.
提示:當時；當時不存在.
從而定理(第二充分條件): 設在處具有二階導數且則
（１）當時，為極大值；
（２）當時，為極小值．
注:(1)若則可能是極值點,也可能不是極值點，用第二充分條件就無法判定，此時需要用極值的定義或第一充分條件判定．
(2)此定理可推廣:
設則:為偶數時在處取極值，當時取極小值；當時取極大值.為奇數時在處不取極值.
【例】求的極值．
提示:又
第三章勾股定理
一 知識梳理姓名 勾股定理 直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長分別為a b c，且a2 b2 c2 那麼這個三角形是直角三角形。一 選擇題 每小題3分，共30分 1 在 abc中，a b c的對應邊分別是a b c，若 a c 90 則下列等式中成立的是...
中值定理及導數的應用
自測題三解答 一 填空題 本題共 小題，每小題3分，滿分15分 1 則常數 11 2 函式，在區間上滿足拉格朗日中值定理的點是 1 3 函式時，則常數3 4 已知，則 0 5 函式在區間上的最大值為 解答提示 1 所以，解得 另解 否則 所以，2 由，即，得 捨去 1 3 函式時，所以常數，另解 所...
第三章導數及其應用基礎訓練
姓名學號班次成績 一 選擇題 1 若函式在區間內可導，且則 的值為 a b c d 2 乙個物體的運動方程為其中的單位是公尺，的單位是秒，那麼物體在秒末的瞬時速度是 a 公尺 秒 b 公尺 秒 c 公尺 秒 d 公尺 秒 3 函式的遞增區間是 ab c d 4 若,則的值等於 ab c d 5 函式...