習題4-1
1．驗證下列各題的正確性，並求滿足結論的的值：
(1) 驗證函式在區間上滿足羅爾定理；
(2) 驗證函式在上滿足拉格朗日中值定理；
(3) 驗證函式在區間上滿足柯西中值定理.
解：(1) 顯然在上連續，在內可導，且，
又，可見在內，存在一點使
(2)在上連續，，即知在內可導，
由得，即在內存在使拉格朗日中值公式成立.
(3) 顯然函式在區間上連續，在開區間內可導，且
於是滿足柯西中值定理的條件.由於
令得取則等式
成立.這就驗證了柯西中值定理對所給函式在所給區間上的正確性.
2．不求導數函式的導數, 判斷方程有幾個實根，並指出這些根的範圍.
解因為所以在閉區間和上均滿足羅爾定理的三個條件，從而，在內至少存在一點使即是的乙個零點；
又在內至少存在一點使即是的乙個零點.
又因為為二次多項式，最多只能有兩個零點，故恰好有兩個零點，分別在區間和.
3．設函式是定義在處處可導的奇函式，試證對任意正數a，存在, 使.
證因處處可導，則在上應用拉格朗日中值定理：存在，使
.由是奇函式，則上式為, 故有
.4．應用拉格朗日中值定理證明下列不等式：
(1) 當時,;
(2) 若, 則.
證(1) 當時,設則在上滿足拉格朗日定理的條件.故
由且得：
.(2) 若,不妨設，令則在上滿足拉格朗日定理的條件.故
從而.5．應用拉格朗日中值定理的推論證明下列恒等式：
(1);
(2).
證(1) 設,
又即(2)設,
因為，所以 ,是常數.
又, 即
故.6．設函式在[0, 1]上連續, 在(0, 1)內可導. 試證明至少存在一點, 使
證作輔助函式則在上滿足柯西中值定理的條件，故在內至少存在一點使
即習題4-2
1．寫出函式在處的四階泰勒公式.
解 ，
於是所求泰勒公式為
其中在1與之間.
2. 寫出函式在處的帶皮亞諾餘項的階泰勒公式.
解於是所求的帶皮亞諾餘項的階泰勒公式為
3．求下列函式的帶皮亞諾餘項的階麥克勞林公式：
(1)；
(2).
解 (1)因為所以.
(2) 由
知故.4. 用泰勒公式計算下列極限：
(1)；
(2).
解 (1) 又從而
(2) 又從而
.5. 利用四階泰勒公式計算下列各數的近似值，並估計誤差：
(1)；
(2).
解 (1)
上式中，取得
以代入得
，(取小數點後四位)
其誤差 .
(2) .
取得 (取小數點後四位)
其誤差習題4-3
1．計算下列極限：
(12);
(34)；
(56)；
(78);
(910);
(1112);
(1314);
(1516);
(1718);
解 (1
(2) =-2;
(3) ；
(4) =1；
(53(6) =-1；
(7(8) ;(9
(10) ;
(11)
(12)
;(13)
(14)
;(15),又故
(16) =,
又,故==1;
(17(18).
2. 設,，,求.
解 .
習題4-4
1．判斷函式的單調性.
解又 在內， 函式單調減少；
在內， 函式單調增加.
2．判斷函式在區間的單調性.
解,在區間， 函式單調減少.
3．求下列函式的單調區間：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
解 (1)
解方程得
當時， 在上單調增加；
當時， 上單調減少；
當時， 在上單調增加.
(2) ,
解方程得，
在內， 在內單調減少；
在內， 在單調增加.
(3) 令解得在處不存在.
在內，函式單調增加；在內，函式單調增加；故函式在內函式單調增加；
在內，函式單調減少；
在內，函式單調增加.
(4), ,令解得
在內，函式單調增加；
在內，函式單調減少；
在內，函式單調減少；
在內，函式單調增加.
4．當時，應用單調性證明下列不等式成立：
(1)；
(2).
證 (1) 令則
當時在上單調增加，
當時，即，
故(2)設則
在上連續，且在內可導， 在上單調增加，
當時，即
又設因為在上連續，在內可導，且
當時，又故當時，
所以綜上，當時，有，證畢.
5．證明方程有且只有乙個小於1的正根.
證令，因在閉區間連續，且.
根據零點定理在內有乙個零點,即方程至少有乙個小於1的正根.
在內， 所以在內單調增加，即曲線在內與軸至多只有乙個交點.
綜上所述，方程有且只有乙個小於1的正根.
6．求下列曲線的凹凸區間及拐點：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
解 (1)函式的定義域為
令得所以，曲線的凹區間為,凸區間為拐點為和
(2) 函式的定義域為
函式在處不可導，但時，曲線是凸的，時，曲線是凹的.
故凹區間為，凸區間為，拐點為；
(3) 函式的定義域為 ,
令得在，曲線是凹的；
在，曲線是凸的；
在，曲線是凹的.
因此凹區間為,，凸區間為，拐點為和.
(4) 函式的定義域為,
, ,令得在處不存在，
在，曲線是凸的；
在，曲線是凹的；
在，曲線是凹的；
故凹區間為,，凸區間為，拐點為.
7．利用函式的凹凸性證明：若，則不等式成立.
證令()，則所要證明的不等式改寫為
.因此問題轉化為要證明在內為凹.
由，，因，，故在內為凹，於是不等式成立.
習題4-5
1．求下列函式的極值：
(1)；
(2);
(3);
(4);
(5);
解 (1),令得駐點
列表討論如下：
所以, 極大值極小值.
(2),令得駐點
列表討論如下：
所以, 極小值極大值.
(3) 函式的定義域為，令得駐點，
在內， 在內單調減少；
在內， 在單調增加.
所以,有極小值.
(4) 令解得在處不存在.
在內，函式單調增加；在內，函式單調增加；
在內，函式單調減少；
在內，函式單調增加.
因此，有極大值極小值.
(5) 由得駐點
因故在處取得極小值，極小值為
因考察一階導數在駐點及左右鄰近的符號:
當取左側鄰近的值時,
當取右側鄰近的值時,
因的符號沒有改變，故在處沒有極值.同理，在處也沒有極值.
2. 設是函式的極值點，則為何值？此時的極值點是極大值點還是極小值點？並求出該值.
解由,因是極值點，故,得=2,又,,
所以，是極大值點，極大值為：
3. 求下列函式在指定區間的最大值與最小值：
(1),;
(2),;
(3),.
解 (1)
解方程得
計算.比較得最大值,最小值.
(2),令得，
計算，，.
從而得最大值,最小值.
(3)，令在得駐點
計算，，.
故得到，最大值為，最小值為.
4. 求下列曲線的漸近線：
(1);
(2).
解 (1)因, 得水平漸近線
因得鉛直漸近線
(2) 因, 得水平漸近線
因, 得鉛直漸近線
5. 作出下列函式的圖形：
(1)；
(2);
(3);
(4).
解 (略)
6. 設a、b兩個工廠共用一台變壓器，其位置如右下圖所示，問變壓器設在輸電幹線的什麼位置時，所需電線最短？
解設變壓器設在輸電幹線距c點x km處，由已知條件可得電線的總長度為
求導，令，在內，得為唯一駐點,
容易判斷，此時，函式有最小值，故變壓器設在輸電幹線距c點2.4 km處，所需電線最短.
習題4-6
1．某鐘錶廠生產某型別手錶日產量為件的總成本為
(元)，
(1) 日產量為100件的總成本和平均成本為多少？
(2) 求最低平均成本及相應的產量；
(3) 若每件手錶要以400元售出，要使利潤最大，日產量應為多少？並求最大利潤及相應的平均成本？
解 (1) 日產量為100件的總成本為
(元)平均成本為(元).
(2) 日產量為件的平均成本為，
，令，因，故得唯一駐點為.
又，故是的極小值點，即當日產量為200件時，平均成本最低，最低平均成本為(元).
(3) 若每件手錶要以400元售出，此時利潤為
，，令，得唯一駐點為，此時，，
因此，要使利潤最大，日產量應為400件，此時的最大利潤為
(元)相應的平均成本為
(元).
2．設大型超市通過測算，已知某種手巾的銷量(條)與其成本c的關係為
(元),
現每條手巾的定價為6元, 求使利潤最大的銷量.
解利潤函式為
，求導，
令，因，故得唯一駐點為，
此時，，
因此，要使利潤最大，銷量應為2000條，此時的最大利潤為
(元).
3. 設某種商品的需求函式為, 求當需求量時的總收入, 平均收入和邊際收入，並解釋其經濟意義.
解設需求量件**為的產品收入為
由需求函式得
代入得總收入函式
平均收入函式為
邊際收入函式為
當時的總收入為
平均收入為
邊際收入為 ，其經濟意義是：當需求量為300件時，每增加1個單位商品的需求，將增加4元的收入.
4．設某工藝品的需求函式為(p是**，單位：元,是需求量，單位：件), 成本函式為(元).
(1) 求邊際利潤函式, 並分別求和時的邊際利潤，並解釋其經濟意義.
(2) 要使利潤最大，需求量應為多少?
解 (1) 已知，，則有
邊際利潤函式為
當時的邊際利潤為
當時的邊際利潤為
可見銷售第201個產品，利潤會增加20元，而銷售第401個產品後利潤將減少20元.
(2) 令得
故要使利潤最大，需求量件，此時最大利潤為(元).
5．設某商品的需求量與**p的關係為
(1) 求需求彈性，並解釋其經濟含義;
(2) 當商品的**(元)時, 若**降低1%, 則該商品需求量變化情況如何？
解 (1) 需求彈性為
需求彈性為負, 說明商品****1%時, 商品需求量將減少1.39%.
(2) 當商品**(元)時,這表示**(元)時, ****1%, 商品的需求量將減少13.9%. 若**降低1%, 商品的需求量將增加13.9%.
6．某商品的需求函式為(是需求量，p是**)，求：
(1) 需求彈性；
(2) 當商品的**時的需求彈性, 並解釋其經濟意義.
解 (1) 需求彈性為
；(2),說明當時，****1%, 需求減少0.67 %；
第4章習題詳解
習題四1.設隨機變數x的分布律為 求e x e e 2x 3 解 1 2 3 2.已知100個產品中有10個次品，求任意取出的5個產品中的次品數的數學期望 方差.解 設任取出的5個產品中的次品數為x，則x的分布律為 故3.設隨機變數x的分布律為 且已知e x 0.1,e x2 0.9,求p1，p2，...
第4章習題詳解
習題四1.設隨機變數x的分布律為 求e x e x2 e 2x 3 解 1 2 3 2.已知100個產品中有10個次品，求任意取出的5個產品中的次品數的數學期望 方差.解 設任取出的5個產品中的次品數為x，則x的分布律為 故3.設隨機變數x的分布律為 且已知e x 0.1,e x2 0.9,求p1，...
習題詳解 第7章多元函式微分學
習題7 1 1.指出下列各點所在的座標軸 座標面或卦限 a 2，1,6 b 0，2，0 c 3，0,5 d 1，1，7 解 a在v卦限，b在y軸上，c在xoz平面上，d在viii卦限。2.已知點m 1，2，3 求點m關於座標原點 各座標軸及各座標面的對稱點的座標.解 設所求對稱點的座標為 x，y，z...