習題四1.設隨機變數x的分布律為
求e（x），e（），e（2x+3）.
【解】(1)
(2)(3)2.已知100個產品中有10個次品，求任意取出的5個產品中的次品數的數學期望、方差.
【解】設任取出的5個產品中的次品數為x，則x的分布律為
故3.設隨機變數x的分布律為
且已知e（x）=0.1,e(x2)=0.9,求p1，p2，p3.
【解】因……①,
又……②,
……③由①②③聯立解得
4.袋中有n只球，其中的白球數x為一隨機變數，已知e（x）=n，問從袋中任取1球為白球的概率是多少？
【解】記a=，則
5.設隨機變數x的概率密度為
f（x）=
求e（x），d（x）.
【解】故
6.設隨機變數x，y，z相互獨立，且e（x）=5，e（y）=11，e（z）=8，求下列隨機變數的數學期望.
（1） u=2x+3y+1；
（2） v=yz-4x.
【解】(1)
(2)7.設隨機變數x，y相互獨立，且e（x）=e（y）=3，d（x）=12，d（y）=16，求e（3x-2y），d（2x-3y）.
【解】(1)
(2)8.設隨機變數（x，y）的概率密度為
f（x，y）=
試確定常數k，並求e（xy）.
【解】因故k=2
.9.設x，y是相互獨立的隨機變數，其概率密度分別為
fx（x）= fy（y）=
求e（xy）.
【解】方法一：先求x與y的均值
由x與y的獨立性，得
方法二：利用隨機變數函式的均值公式.因x與y獨立，故聯合密度為
於是10.設隨機變數x，y的概率密度分別為
fx（x）= fy（y）=
求（1） e（x+y）;（2） e（2x-3y2）.
【解】從而(1)
(2)11.設隨機變數x的概率密度為
f（x）=
求（1） 係數c;（2） e（x）;（3） d（x）.
【解】(1) 由得.
(2)(3)故 12.袋中有12個零件，其中9個合格品，3個廢品.安裝機器時，從袋中乙個乙個地取出（取出後不放回），設在取出合格品之前已取出的廢品數為隨機變數x，求e（x）和d（x）.
【解】設隨機變數x表示在取得合格品以前已取出的廢品數，則x的可能取值為0，1，2，3.為求其分布律，下面求取這些可能值的概率，易知
於是，得到x的概率分布表如下：
由此可得
13.一工廠生產某種裝置的壽命x（以年計）服從指數分布，概率密度為
f（x）=
為確保消費者的利益，工廠規定**的裝置若在一年內損壞可以調換.若售出一台裝置，工廠獲利100元，而調換一台則損失200元，試求工廠**一台裝置贏利的數學期望.
【解】廠方**一台裝置淨盈利y只有兩個值：100元和-200元
故(元).
14.設x1，x2，…，xn是相互獨立的隨機變數，且有e（xi）=μ，d（xi）=σ2，i=1，2，…，n，記
，s2=.
（1） 驗證=μ， =；
（2） 驗證s2=；
（3） 驗證e（s2）=σ2.
【證】(1)
(2) 因
故.(3) 因,故
同理因,故.
從而15.對隨機變數x和y，已知d（x）=2，d（y）=3，cov(x,y)=-1,
計算：cov（3x-2y+1，x+4y-3）.
【解】(因常數與任一隨機變數獨立，故cov(x,3)=cov(y,3)=0,其餘類似).
16.設二維隨機變數（x，y）的概率密度為
f（x，y）=
試驗證x和y是不相關的，但x和y不是相互獨立的.
【解】設.
同理e(y)=0.
而由此得,故x與y不相關.
下面討論獨立性，當|x|≤1時，
當|y|≤1時，.
顯然故x和y不是相互獨立的.
17.設隨機變數（x，y）的分布律為
驗證x和y是不相關的，但x和y不是相互獨立的.
【解】聯合分布表中含有零元素，x與y顯然不獨立，由聯合分布律易求得x，y及xy的分布律，其分布律如下表
由期望定義易得e（x）=e（y）=e（xy）=0.
從而e(xy)=e(x)·e(y),再由相關係數性質知ρxy=0,
即x與y的相關係數為0，從而x和y是不相關的.
又從而x與y不是相互獨立的.
18.設二維隨機變數（x，y）在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點的三角形區域上服從均勻分布，求cov（x，y），ρxy.
【解】如圖，sd=，故（x，y）的概率密度為
題18圖
從而同理
而 所以.
從而19.設（x，y）的概率密度為
f（x，y）=
求協方差cov（x，y）和相關係數ρxy.
【解】從而同理
又故20.已知二維隨機變數（x，y）的協方差矩陣為，試求z1=x-2y和z2=2x-y的相關係數.
【解】由已知知：d(x)=1,d(y)=4,cov(x,y)=1.從而故
21.對於兩個隨機變數v，w，若e（v2），e（w2）存在，證明：
［e（vw）］2≤e（v2）e（w2）.
這一不等式稱為柯西許瓦茲（couchy-schwarz）不等式.
【證】令
顯然可見此關於t的二次式非負，故其判別式δ≤0，即故
22.假設一裝置開機後無故障工作的時間x服從引數λ=1/5的指數分布.裝置定時開機，出現故障時自動關機，而在無故障的情況下工作2小時便關機.
試求該裝置每次開機無故障工作的時間y的分布函式f（y）.
【解】設y表示每次開機後無故障的工作時間，由題設知裝置首次發生故障的等待時間x~e(λ),e(x)= =5.
依題意y=min(x,2).
對於y<0,f(y)=p=0.
對於y≥2,f(y)=p(x≤y)=1.
對於0≤y<2,當x≥0時，在(0,x)內無故障的概率分布為
p=1-e-λx,所以
f(y)=p=p=p=1-e-y/5.
23.已知甲、乙兩箱中裝有同種產品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產品放乙箱後，求：
（1）乙箱中次品件數z的數學期望；（2）從乙箱中任取一件產品是次品的概率.
【解】（1） z的可能取值為0，1，2，3，z的概率分布為
,因此，(2) 設a表示事件「從乙箱中任取出一件產品是次品」，根據全概率公式有
24.假設由自動線加工的某種零件的內徑x（公釐）服從正態分佈n（μ,1），內徑小於10或大於12為不合格品，其餘為合格品.銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤t（單位：
元）與銷售零件的內徑x有如下關係
t=問：平均直徑μ取何值時，銷售乙個零件的平均利潤最大？
【解】故
得兩邊取對數有
解得公釐)
由此可得，當u=10.9公釐時，平均利潤最大.
25.設隨機變數x的概率密度為
f(x)=
對x獨立地重複觀察4次，用y表示觀察值大於π/3的次數，求y2的數學期望.
（2002研考）
【解】令
則.因為
及,所以,從而
26.兩台同樣的自動記錄儀，每台無故障工作的時間ti(i=1,2)服從引數為5的指數分布，首先開動其中一台，當其發生故障時停用而另一台自動開啟.試求兩台記錄儀無故障工作的總時間t=t1+t2的概率密度ft(t)，數學期望e（t）及方差d（t）.
【解】由題意知：
因t1,t2獨立，所以ft(t)=f1(t)*f2(t).
當t<0時，ft(t)=0;
當t≥0時，利用卷積公式得
故得由於ti ~e(5),故知e(ti)=,d(ti)= (i=1,2)
因此，有e(t)=e(t1+t2)=.
又因t1,t2獨立，所以d（t）=d（t1+t2）=.
27.設兩個隨機變數x，y相互獨立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態分佈，求隨機變數|x-y|的方差.
【解】設z=x-y，由於
且x和y相互獨立，故z~n（0，1）.因
第4章習題詳解
習題四1.設隨機變數x的分布律為 求e x e x2 e 2x 3 解 1 2 3 2.已知100個產品中有10個次品，求任意取出的5個產品中的次品數的數學期望 方差.解 設任取出的5個產品中的次品數為x，則x的分布律為 故3.設隨機變數x的分布律為 且已知e x 0.1,e x2 0.9,求p1，...
第4章習題
第四章社會主義改造理論 一 單項選擇 1 中華人民共和國的成立,標誌中國進入b a 新民主主義社會 b 社會主義社會 c 共產主義社會 d 資本主義社會 2 新民主主義社會的經濟成分中,完全屬於社會主義性質的是 a a 國營經濟 b 合作社經濟 c 個體經濟 d 國家資本主義經濟 3 新民主主義社會...
第9章習題詳解
1 燈泡廠用4種不同的材料製成燈絲，檢驗燈線材料這一因素對燈泡壽命的影響.若燈泡壽命服從正態分佈，不同材料的燈絲製成的燈泡壽命的方差相同，試根據表中試驗結果記錄，在顯著性水平0.05下檢驗燈泡壽命是否因燈絲材料不同而有顯著差異？解 69895900 69700188.46 195711.54,697...