第八章重積分
習題 8-1
1．設有乙個面薄板（不計其厚度），占有面上的閉區域，薄板上分布有面密度為的電荷，且在上連續，試用二重積分表達該板上的全部電荷．
解用一組曲線將分成個小閉區域，其面積也記為.任取一點,則上分布的電量.通過求和、取極限，便得到該板上的全部電荷為
其中的直徑．
2. 設其中；又其中．試利用二重積分的幾何意義說明與之間的關係．
解由二重積分的幾何意義知，表示底為、頂為曲面的曲頂柱體的體積；表示底為、頂為曲面的曲頂柱體的體積．由於位於上方的曲面關於面和麵均對稱，故面和面將分成四個等積的部分，其中位於第一卦限的部分即為．由此可知．
3. 利用二重積分定義證明：
(1)；
(2)；
(3)其中，、為兩個無公共內點的閉區域.
證 (1) 由於被積函式，故由二重積分定義得
(2)(3) 因為函式在閉區域上可積，故不論把怎樣分割，積分和的極限總是不變的，因此在分割時，可以使和的公共邊界永遠是一條分割線。這樣在上的積分和就等於上的積分和加上的積分和，記為
令所有的直徑的最大值，上式兩端同時取極限，即得
4. 根據二重積分的性質，比較下列積分的大小：
(1)與，其中積分區域是由軸、軸與直線所圍成；
(2)與，其中積分區域是由圓周所圍成；
(3)與，其中是三角形閉區域，三頂點分別為；
(4)與，其中.
解 (1) 在積分區域上，，故有，根據二重積分的性質４，可得
(2) 由於積分區域位於半平面內，故在上有．從而
(3) 由於積分區域位於條形區域內，故知上的點滿足，從而有．因此
(4) 由於積分區域位於半平面內，故在上有，從而有．因此
5. 利用二重積分的性質估計下列積分的值：
(1)其中；
(2)其中；
(3)其中；
(4)其中.
解 (1) 在積分區域上，，，從而，又的面積等於，因此
(2) 在積分區域上，，，從而，又的面積等於，因此
(3) 在積分區域上，，的面積等於，因此
(4) 在積分區域上，，從而，又的面積等於，因此
習題 8-2
1. 計算下列二重積分：
(1)，其中；
(2)，其中是由兩座標軸及直線所圍成的閉區域；
(3)，其中；
(4)其中是頂點分別為，和的三角形閉區域．
解 (1)
(2)可用不等式表示為，於是
(3)(4) 可用不等式表示為，於是
2. 畫出積分區域，並計算下列二重積分：
(1)，其中是由兩條拋物線，所圍成的閉區域；
(2)，其中是由圓周及軸所圍成的右半閉區域；
(3)，其中；
(4)，其中是由直線，及所圍成的閉區域．
解 (1) 可用不等式表示為，於是
(2) 可用不等式表示為，於是
(3)，其中，，於是
(4) 可用不等式表示為，於是
3. 化二重積分
為二次積分（分別列出對兩個變數先後次序不同的兩個二次積分），其中積分區域是：
(1) 由直線及拋物線所圍成的閉區域；
(2) 由軸及半圓周所圍成的閉區域；
(3) 由直線，及雙曲線所圍成的閉區域；
(4) 環形閉區域．
解 (1) 直線及拋物線的交點為和，於是
或(2) 將用不等式表示為，於是可將化為
；如將用不等式表示為，於是可將化為
(3) 三個交點為、和，於是或
(4) 將劃分為４塊，得
或4. 改換下列二次積分的積分次序：
(12)；
(34)；
(56)．
解 (1) 所給二次積分等於二重積分，其中，可改寫為，於是
原式(2) 所給二次積分等於二重積分，其中，可改寫為，於是
原式(3) 所給二次積分等於二重積分，其中，可改寫為，於是
原式(4) 所給二次積分等於二重積分，其中，可改寫為，於是
原式(5) 所給二次積分等於二重積分，其中，可改寫為，於是
原式(6) 所給二次積分等於二重積分，將表示為，其中
，，於是
原式5. 計算由四個平面，，，所圍成柱體被平面及截得的立體的體積．
解此立體為一曲頂柱體，它的底是面上的閉區域，頂是曲面，因此所求立體的體積為
6. 求由曲面及所圍成的立體的體積．
解所求立體在面上的投影區域為
所求立體的體積等於兩個曲頂柱體體積的差：
7. 畫出積分區域，把積分表示為極座標形式的二次積分，其中積分區域是：
(12)；
(3)，其中； (4)．
解 (1) 在極座標中，，故
(2) 在極座標中，，故
(3) 在極座標中，，故
(4) 在極座標中，直線的方程為，故，於是
8. 化下列二次積分為極座標形式的二次積分：
(12)；
(34)．
解 (1) 用直線將積分區域分成、兩部分：，，
於是原式
(2) 在極座標中，直線和的方程分別是和。因此，又，於是
原式 (3) 在極座標中，直線的方程為，圓的方程為，因此，故
原式(4) 在極座標中，直線的方程為，拋物線的方程為，即；兩者的交點與原點的連線的方程是。因此，故
原式9. 把下列積分化為極座標形式，並計算積分值：
(12)；
(34)．
解 (1) 在極座標中，，故
原式 (2) 在極座標中，，故
原式 (3) 在極座標中，拋物線的方程為，即；直線的方程是，故，故
原式(4) 在極座標中，積分區域，於是
原式10. 利用極座標計算下列各題：
(1)，其中是由圓周所圍成的閉區域；
(2)，其中是由圓周，及直線，所圍成的在第一象限內的閉區域.
解 (1) 在極座標中，，故
原式 (2) 在極座標中，，故
原式11. 選用適當的座標計算下列各題：
(1)，其中是由直線，及曲線所圍成的閉區域；
(2)，其中是由圓周及座標軸所圍成的在第一象限內的閉區域；
(3)，其中是由直線，，，所圍成的閉區域；
(4)，其中是圓環形閉區域．
解 (1) 選用直角座標，，故
(2) 選用極座標，，故
(3) 選用直角座標，
(4) 選用極座標，，故
12. 求由平面，，以及球心在原點、半徑為的上半球面所圍成的在第一卦限內的立體的體積（圖8-21）．
解 習題 8-3
1. 化三重積分為三次積分，其中積分區域分別是:
(1) 由雙曲線拋物面及平面，所圍成的閉區域；
(2) 由曲面及平面所圍成的閉區域；
(3) 由曲面及所圍成的閉區域；
(4) 由曲面，，所圍成的在第一卦限內的閉區域.
解 (1)可用不等式表示為：，因此
(2)可用不等式表示為：，因此
(3)可用不等式表示為：，因此
(4)可用不等式表示為：，因此
2. 計算，其中是由曲面，與平面，和所圍成的閉區域.
解可用不等式表示為：，因此
3. 計算，其中為平面，，，所圍成的四面體.
解可用不等式表示為：，因此
4. 計算，其中為球面及三個座標面所圍成的在第一卦限內的閉區域.
解可用不等式表示為：，因此
5.計算，其中是由平面，，以及拋物柱面所圍成的閉區域.
解可用不等式表示為：，因此
6. 計算，其中是由錐面與平面所圍成的閉區域.
解在面上的投影區域
，.於是
7. 利用柱面計算下列三重積分:
(1)，其中是由曲面及所圍成的閉區域；
(2)，其中是由曲面及平面所圍成的閉區域.
解 (1)在面上的投影區域，利用柱面座標，可用不等式表示為：，因此
(2) 由及消去得，從而知在面上的投影區域為，利用柱面座標，可表示為：，因此
8. 利用球面座標計算下列三重積分:
(1)，其中是由球面所圍成的閉區域;
(2)，其中閉區域由不等式，所確定.
解 (1)
(2) 在球面座標系中，不等式，即，變為，即；變為，即，亦即.因此可表示為,於是
9. 選用適當的座標計算下列三重積分:
(1)，其中為柱面及平面，，，所圍成的在第一卦限內的閉區域；
(2)，其中是由球面所圍成的閉區域；
(3)，其中是由曲面及平面所圍成的閉區域;
(4)，其中閉區域由不等式，所確定.
解 (1) 利用柱面座標，可表示為：，因此
(2) 在球面座標系中，球面的方程為，即.可表示為,於是
(3) 利用柱面座標，可表示為：，因此
(4) 在球面座標系中，可表示為,於是
習題 8-4
1. 求球面含在圓柱面內部的那部分面積.
解上半球面的方程為．
由曲面的對稱性得所求面積為
2. 求錐面被柱面所割下部分的曲面面積.
解由解得，故曲面在面上的投影區域．被割曲面的方程為，
於是所求曲面的面積為：
3. 求底圓半徑相等的兩個直交圓柱面及所圍立體的表面積.
解設第一卦限內的立體表面位於圓柱面上的那一部分的面積為，則由對稱性知全部表面的面積為．
故全部表面積為．
4. 設薄片所佔的閉區域如下，求均勻薄片的質心:
(1)由，所圍成；
(2)是半橢圓形閉區域；
(3)是介於兩個圓之間的閉區域.
解 (1) 設質心為．
於是故所求質心為．
(2) 因對稱於軸，故質心必位於軸上，於是．
因此所求質心為．
(３) 因對稱於軸，故質心必位於軸上，於是．
故所求質心為．
5. 設平面薄片所佔的閉區域由拋物線及直線所圍成，它在點處的面密度，求該薄片的質心.
解求得於是所求質心為
6. 設有一等腰直角三角形薄片，腰長為，各點處的面密度等於該點到直角頂點的距離的平方，求這片薄片的質心.
解面密度，由對稱性知．
於是所求質心為
7. 利用三重積分計算下列由曲面所圍立體的質心(設密度):
(1)；
(2)；
(3)．
解 (1) 曲面所圍立體為圓錐體，其頂點在原點，並關於軸對稱，又由於它是勻質的，因此它的質心位於軸上，即．立體的體積為.
故所求質心為.
(2) 立體由兩個同心的上半球面和麵所圍成,關於軸對稱,又由於它是勻質的,故其質心位於軸上，即．立體的體積為.
故所求質心為.
(3)由於立體勻質且關於平面對稱，故，所求質心為．
8. 設球體占有閉區域，它在內部各點處的密度的大小等於該點到座標原點的距離的平方，試求這球體的質心.
解在球面座標系中，可表示為
球體內任意一點處的密度大小為．由於球體的幾何形狀及質量分布均關於軸對稱，故可知其質心位於軸上，因此．
故球體的質心為.
9. 設均勻薄片(面密度為常數1)所佔閉區域如下，求指定的轉動慣量:
(1)，求；
(2)由拋物線與直線所圍成，求和；
第4章習題詳解
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