習題解答
習題5.1
1．設樣本值如下：
15， 20， 32， 26， 37， 18， 19， 43
計算樣本均值、樣本方差、2階樣本矩及2階樣本中心矩．
解由樣本均值的計算公式，有
由樣本方差的計算公式，有
由2階樣本矩的計算公式，有
由2階樣本中心矩的計算公式，有
2. 設總體，是來自總體的樣本，求概率.
解3. 設總體x ～ p（λ），是容量為n的樣本的均值，求和.
解因總體x ～ p（λ），故有，於是
4. 某保險公司記錄的**災事故的損失資料如下（單位：萬元）：
1.86, 0.75, 3.
21，2.45， 1.98, 4.
12. 求該樣本的經驗分布函式.
解將樣本觀測值排序可得：
則經驗分布函式為
5．求標準正態分佈的上側0.01分位數和上側0.48分位數 .
解由題知，～，求的上側分位數. 即求使滿足
得即取，查標準正態分佈表得上側0.01分位數為
取，查標準正態分佈表得上側0.48分位數為
習題5.2
1.設總體，是取自總體的樣本，是樣本均值，求．
解因，且樣本容量，故，於是
2.設 ，求使其滿足
解由，得，因為，所以查表可得
3. 設總體，是取自總體的樣本，求及.
解由總體可知，且相互獨立，於是
故有4. 設總體x ～ n（20 ，3），從中獨立地抽取容量分別為10和15的兩個樣本，求它們的樣本均值之差的絕對值大於0.3的概率．
解設這兩個樣本分別為和， 則對樣本均值有
～～依定理 ～，所以
(查標準正態分佈錶可得)
5.設x ～ t(12) ，(1) 求使得；（2）求使得
解 （1）由利用t分布的對稱性可得，查表可得
（2）由得，又由t分布的對稱性可得
於是6.設，求λ使得.
解由得，於是查表可得
習題5.3
1．設總體x ～ n（μ ，4），（x1 ，x2 ，… ，x16）為其樣本，為樣本方差，求：
（1） p2） p．
解因為～所以本題中
～ 則 (1)
(2)2. 總體，是總體的樣本，分別是樣本均值和樣本方差，求，使.
解根據抽樣分布定理知
又由得故查表可得
3．設總體x ～ n（30 ，64），為使樣本均值大於28的概率不小於0.9 ，樣本容量n至少應是多少？
解因為～， 所以樣本均值.～
因此～， 故
查標準正態分佈錶可得，，解得，所以至少應取27.
*4．設總體x ～ n 與總體y ～ n 相互獨立，（x1 ，x2 ，…，x13）和（y1 ，y2 ，…，y10）分別為來自總體x和總體y的樣本．試求兩總體樣本方差之比落入區間（0.159 ，1.058）內的概率．
解因為 ～，所以本題中
～～又因為～從而
（查f分布表
*5. 設從兩個正態總體中分別獨立地抽取兩個樣本和，樣本方差分別為.求，使.
解根據抽樣分布定理可知
又由可得，於是查表可得
*6．設總體x與總體y相互獨立，且都服從正態分佈n（0 ，9），（x1 ，x2 ，… ，x9）和（y1 ，y2 ，… ，y9）分別為來自總體x和y的樣本．試證明統計量t = 服從自由度為9的t分布．
證明由正態分佈的性質及樣本的獨立性知～得
～又因為～所以
～由於兩個總體和是相互獨立的，所以其相應的樣本也是相互獨立的，
故與也相互獨立，於是由分布的定義知
～綜合練習五
一、填空題
1．設總體x的一組樣本觀測值為
1.4 ，2.3 ，1.8 ，3.4 ，2.7
則樣本均值= ( 2.32樣本方差= ( 0.607 ) ．
2．設總體x服從正態分佈n（2 ，5），（x1 ，x2 ，… ，x10）為其樣本，則樣本均值的分布為
3．設總體x服從具有n個自由度的分布，（x1 ，x2 ，… ，xn）為其樣本，為樣本均值，則有，．
4．設總體x ～ n（μ ，），（x1 ，x2 ，… ，xn）為其樣本，、分別為樣本均值和樣本方差，則有t(n－1) )．
5．設總體x ～ n（1 ，4），（x1 ，x2 ，… ，x5）為其樣本，令
t =則當a時有t ～ (2) ．
二、選擇題
1．設總體x ～ n（μ ，1），其中μ為未知引數，若（x1 ，x2 ，… ，xn）為來自總體x的樣本，則下列樣本函式中( (b) ) 不是統計量．
(ab) ；
(c) x1 x2 … xnd) ．
2．設總體x ～ n（2 ，4），（x1 ，x2 ，… ，x9）為其樣本，為樣本均值，則下列統計量中服從標準正態分佈的是( (c) )．
(ab) ；
(cd) ．
3．設總體x ～ n（0 ，1），（x1 ，x2 ，… ，x5）為其樣本，令
t =則有t ～ ( (b) ) ．
(a) t(5b) f(1 ，1) ；
(c) f(2 ，3d) f(3 ，2) ．
4．設總體x ～ n，（x1 ，x2 ，… ，x5）為其樣本，令
則有td) )．
(a) t(1b) t(2c) t(3d) t(4) ．
5．設總體x ～ n（0 ，1），（x1 ，x2 ，… ，xn）為其樣本，、分別是樣本均值和樣本標準差，則 ( (c
(a) n～ n（0 ，1b) ～ n（0 ，1）；
(c) ～ (nd) ～ t(n－1) ．
6．設隨機變數x和y都服從標準正態分佈，則 ( (c) ) ．
(a) 服從正態分佈b) 服從分布；
(c) 和都服從分布d) 服從f分布．
三、解答題
1．設總體，是總體的樣本，令，求的數學期望.
解因為，所以，則有
於是2．設總體，是總體的樣本，是樣本均值，.求常數c，使
解根據抽樣分布定理可知
又由可得
查表可得，於是得
3.設一組資料20.5，15.5，30.2，20.5，18.6, 21.3，18.6，23.4來自於總體求經驗分布函式.
解將樣本觀測值排序可得：
則由定義可得經驗分布函式為
4．設總體x ～ n（0 ，4），（x1 ，x2 ，… ，x9）為其樣本．求係數a 、b 、c ，使得
t =服從分布，並求其自由度．
解由於相互獨立且來自總體～，則由正態分佈的線性運算性質有
～，～，
～於是，由分布與正態分佈的關係，有
服從分布，因此，自由度為3。
5．設總體x ～ n（μ ，4），（x1 ，x2 ，… ，x16）為其樣本，為樣本方差，求常數c，使
解根據抽樣分布定理可知
而由可得，進而可得
查表可得，於是可得
6. 總體，是總體的樣本，分別是樣本均值和樣本方差，求常數c，使.
解因，所以由抽樣分布定理可知
又由可得
故查表可得
於是*7．設兩個總體與相互獨立，和分別為來自總體x和總體y的樣本．求的分布
解由知；由可知，從而
則有 且與相互獨立，故
習題6.1
1．設總體服從區間上的均勻分布，為其樣本，求總體引數θ的矩估計量．
解由總體服從區間上的均勻分布，可得總體的數學期望
由矩估計法，令
解得為引數θ的矩估計量．
2．設總體x的分布密度為
總體x的一組觀測值為
0.63 ，0.78 ，0.92 ，0.57 ，0.74 ，0.86
求總體引數θ的矩估計值．
解由x的數學期望計算公式，有
按矩估計法建立方程
解得θ 的矩估計為
計算樣本均值的觀察值，有
概率複習題詳解
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