1、設為離散型的隨機變數，且期望、方差均存在，證明對任意,都有
證明設則
=2、設隨機變數和的數學期望都是2，方差分別為1和4，而相關係數為0.5，請利用切比雪夫不等式證明：
。證3、一枚均勻硬幣要拋多少次才能使正面出現的頻率與0.5之間的偏差不小於0.04的概率不超過0.01？
解設為次拋硬幣中正面出現次數，按題目要求，由切比雪夫不等式可得
從而有即至少連拋15625次硬幣，才能保證正面出現頻率與0.5的偏差不小於0.04的概率不超過0.01。
4、每名學生的數學考試成績是隨機變數，已知，，（1）試用切比雪夫不等式估計該生成績在70分到90分之間的概率範圍；（2）多名學生參加數學考試，要使他們的平均分數在75分到85分之間的概率不低於90%，至少要有多少學生參加考試？
解 (1)由切比雪夫不等式 又 =
即該生的數學考試成績在70分到90分之間的概率不低於75%
(2)設有個學生參加考試(獨立進行)，記第個學生的成績為，則平均成績為，又,
則由切比雪夫不等式可得：
要使上述要求不低於90%，只需，解得，即有10個以上的學生參加考試，就可以達到要求。
5、設800臺裝置獨立的工作，它們在同時發生故障的次數，現由2名維修工看管，求發生故障不能及時維修的概率。
解 在二項分布表（附表1）中不能查出。，使用正態分佈近似計算：
若使用正態分佈近似計算： ,
6、對於乙個學生而言，來參加家長會的家長人數是乙個隨機變數，設乙個學生無家長來、有1名家長來、有2名家長來參加會議的概率分別為0.05、0.8、0.
15。若學校共有400名學生，設每個學生參加會議的家長數相互獨立且服從同一分布，求：(1)參加會議的家長數超過450的概率；(2)每個學生有一名家長來參加會議的學生數不多於340的概率。
解 (1)以表示第個學生來參加會議的家長數，則的分布律為:
所以，，
而由中心極限定理知：
(2)以表示每個學生有一名家長來參加會議的個數，則
由中心極限定理知：
則7、射手打靶得10分的概率為0.5，得9分的概率為0.3，得8分、7分和6分的概率分別0 .
1、0.05和0.05，若此射手進行100次射擊，至少可得950分的概率是多少？
解設為射手第次射擊的得分，則有
且 ，，，
由中心極限定理得：
8、某產品的不合格率為0.005，任取10000件中不合格品不多於70件的概率為多少？
解依題意，10000件產品中不合格品數，由，，故可用二項分布的正態近似，所求概率為
9、某廠生產的螺絲釘的不合格品率為0.01，問一盒中應裝多少只螺絲釘才能使盒中含有100只合格品的概率不小於0.95？
解設為一盒裝有的螺釘數，其中合格品數記為，則有，該題要求，使得下述概率不等式成立。
或利用二項分布的正態近似，可得：
因此，解得，這意味著，每盒應裝104只螺釘，才能使每盒含有100只合格品的概率不小於0.95。
（b）1、為確定一批產品的次品率要從中抽取多少個產品進行檢查，使其次品出現的頻率與實際次品率相差小於0.1的概率不小於0.95。
解：依題意，可建立如下概率不等式
其中是這實際的次品率，如抽取個產品則次品的頻率，由中心極限定理，近似服從正態分佈：
從而有查表可得 ： 或
由於未知，只得放大抽檢量，用1/2代替 ，可得：
，可見，需抽查96個產品才能使其次品率與實際次品率相差0.1小於的概率不小於0.95。
2、 假設批量生產的某產品的優質品率為60%，求在隨機抽取的200件產品中有120到150件優質品的概率．
解記——隨機抽取的200件產品中優質品的的件數，則服從二項分布，引數為n=200，p=0.60；．由於n=200充分大，故根據棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理，近似地
3、設隨機變數服從引數為的泊松分布，是獨立與同分布隨機變數，證明：對任意，都有
證明由於獨立同泊松分布，可見也獨立同分布，而且數學期望存在：
．因此，根據辛欽大數定律，有．
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概率論習題 2
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