習題三1.將一硬幣拋擲三次，以x表示在三次**現正面的次數，以y表示三次**現正面次數與出現反面次數之差的絕對值.試寫出x和y的聯合分布律.
【解】x和y的聯合分布律如表：
2.盒子裡裝有3只黑球、2只紅球、2隻白球，在其中任取4只球，以x表示取到黑球的隻數，以y表示取到紅球的隻數.求x和y的聯合分布律.
【解】x和y的聯合分布律如表：
3.設二維隨機變數（x，y）的聯合分布函式為
f（x，y）=
求二維隨機變數（x，y）在長方形域內的概率.
【解】如圖
題3圖說明：也可先求出密度函式，再求概率。
4.設隨機變數（x，y）的分布密度
f（x，y）=
求：（1） 常數a；
（2） 隨機變數（x，y）的分布函式；
（3） p.
【解】（1） 由
得 a=12
（2） 由定義，有
(3)5.設隨機變數（x，y）的概率密度為
f（x，y）=
（1） 確定常數k；
（2） 求p；
（3） 求p；
（4） 求p.
【解】（1） 由性質有
故（2）(3)
(4)題5圖6.設x和y是兩個相互獨立的隨機變數，x在（0，0.2）上服從均勻分布，y的密度函式為
fy（y）=
求：（1） x與y的聯合分布密度；（2） p.
題6圖【解】（1） 因x在（0，0.2）上服從均勻分布，所以x的密度函式為而所以
(2)7.設二維隨機變數（x，y）的聯合分布函式為
f（x，y）=
求（x，y）的聯合分布密度.
【解】8.設二維隨機變數（x，y）的概率密度為
f（x，y）=
求邊緣概率密度.
【解】題8圖題9圖
9.設二維隨機變數（x，y）的概率密度為
f（x，y）=
求邊緣概率密度.
【解】題10圖
10.設二維隨機變數（x，y）的概率密度為
f（x，y）=
（1） 試確定常數c；
（2） 求邊緣概率密度.
【解】（1）
得 .(2)
13.設二維隨機變數（x，y）的聯合分布律為
（1）求關於x和關於y的邊緣分布；
（2） x與y是否相互獨立？
【解】（1）x和y的邊緣分布如下表
(2) 因
故x與y不獨立.
11.設隨機變數（x，y）的概率密度為
f（x，y）=
求條件概率密度fy｜x（y｜x），fx｜y（x｜y）.
題11圖
【解】所以
12.袋中有五個號碼1，2，3，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為x，最大的號碼為y.
（1） 求x與y的聯合概率分布；
（2） x與y是否相互獨立？
【解】（1） x與y的聯合分布律如下表
(2) 因
故x與y不獨立
14.設x和y是兩個相互獨立的隨機變數，x在（0，1）上服從均勻分布，y的概率密度為
fy（y）=
（1）求x和y的聯合概率密度；
（2） 設含有a的二次方程為a2+2xa+y=0，試求a有實根的概率.
【解】（1） 因
故 題14圖
(2) 方程有實根的條件是
故x2≥y，
從而方程有實根的概率為：
15.設x和y分別表示兩個不同電子器件的壽命（以小時計），並設x和y相互獨立，且服從同一分布，其概率密度為
f（x）=
求z=x/y的概率密度.
【解】如圖,z的分布函式
(1) 當z≤0時，
（2） 當0
題15圖
(3) 當z≥1時，（這時當y=103時，x=103z）（如圖b）即故
16.設某種型號的電子管的壽命（以小時計）近似地服從n（160，202）分布.隨機地選取4 只，求其中沒有乙隻壽命小於180的概率.
【解】設這四隻壽命為xi(i=1,2,3,4)，則xi~n（160，202），
從而17.設x，y是相互獨立的隨機變數，其分布律分別為
p=p（k），k=0，1，2，…，
p=q（r），r=0，1，2，….
證明隨機變數z=x+y的分布律為
p=，i=0，1，2，….
【證明】因x和y所有可能值都是非負整數，
所以於是
18.設x，y是相互獨立的隨機變數，它們都服從引數為n，p的二項分布.證明z=x+y服從引數為2n，p的二項分布.
【證明】方法一：x+y可能取值為0，1，2，…，2n.
方法二：設μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服從兩點分布（引數為p），則
x=μ1+μ2+…+μn，y=μ1′+μ2′+…+μn′,
x+y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,
所以，x+y服從引數為（2n,p)的二項分布.
19.設隨機變數（x，y）的分布律為
(1) 求p，p；
（2） 求v=max（x，y）的分布律；
（3） 求u=min（x，y）的分布律；
（4） 求w=x+y的分布律.
【解】（1）
（2）所以v的分布律為
(3)於是(4)類似上述過程，有
20.雷達的圓形螢幕半徑為r，設目標出現點（x，y）在螢幕上服從均勻分布.
（1） 求p；
（2） 設m=max，求p.
題20圖
【解】因（x，y）的聯合概率密度為
（1）(2)
21.設平面區域d由曲線y=1/x及直線y=0，x=1,x=e2所圍成，二維隨機變數（x，y）在區域d上服從均勻分布，求（x，y）關於x的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？
題21圖
【解】區域d的面積為（x,y）的聯合密度函式為
（x，y）關於x的邊緣密度函式為
所以22.設隨機變數x和y相互獨立，下表列出了二維隨機變數（x，y）聯合分布律及關於x和y的邊緣分布律中的部分數值.試將其餘數值填入表中的空白處.
【解】因,故從而
而x與y獨立，故,
從而即： 又即
從而同理
又,故.
同理從而
故23.設某班車起點站上客人數x服從引數為λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0【解】(1).
(2)24.設隨機變數x和y獨立，其中x的概率分布為x~，而y的概率密度為f(y)，求隨機變數u=x+y的概率密度g(u).
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