隨機變數的數字特徵
1 隨機變數的數學期望
一．定義
1．離散型：
當絕對收斂
2．連續型： 當絕對收斂
二．性質
（1（2）
（3）（4）相互獨立，則
例將一均勻骰子獨立拋擲三次，求擲得三數之和的數學期望。
三．隨機變數的函式的數學期望
（1）離散型 ，
當絕對收斂，
（2）連續型 ，當絕對收斂
四．隨機變數的函式的數學期望
（1）離散型，
當絕對收斂
（2）連續型 ，當絕對收斂
例1．商店經銷某種商品，每週進貨的數量與顧客對該種商店的需求量是相互獨立的隨機變數，且都在區間上服從均勻分布。商店每售出一單位商品可得利潤1000元，若需求量超過了進貨量，商店可以從其他商店調劑**，這時每單位商品獲利500元，試計算此商店經銷該種商品每週所得利潤的期望值。
2 隨機變數的方差
一．定義： 方差
標準差，均方差
二．計算方差的公式：
，三．性質：
（1），反之不能得出為常數；
（2）；
（3）相互獨立 。
例隨機變數的概率密度為，
則3 常用隨機變數的數學期望和方差
一．（0—1）分布
二．二項分布
三．泊松分布
四．均勻分布
五．指數分布
六．正態分佈 ，，
例已知隨機變數，試證
例設隨機變數，試證
4 矩原點矩
中心矩混合矩混合中心矩
5 協方差和相關係數
一．協方差
定義：公式：
性質：（1）；
2）；3）
二．相關係數
定義：不相關： 相互獨立不相關
性質：（1）；
（2（3）設，
則，且相互獨立不相關。
例對隨機變數，證明下列關係是等價的
（1）（2）不相關
（3）（4）
6 典型例題分析
例1．設隨機變數服從分布，且已知，
則例2．已知件產品中含有件次品，從中任意取出件，設這件產品中的次品件數為，試求。
例3．設隨機變數服從引數為的指數分布，則
例4．設隨機變數的概率密度函式為
其中為常數，已知，試求和。
例5．設隨機變數獨立同分布，且其方差為
令，則例6．在伯努利試驗中，已知，現獨立，重複地進行試驗直到出現為止，令表示所需進行的試驗次數，試求。
例7．設隨機變數的聯合分布在以點為頂點的三角形區域上服從均勻分布，試求隨機變數的方差。
例8．設隨機變數的概率分布密度為，
（1） 求的
（2） 求與的協方差，問與是否不相關？
（3） 問與是否相互獨立？為什麼？
例9．已知隨機變數服從，設
（1） 求的
（2） 求
（3） 問是否相互獨立？為什麼？
例10．設隨機變數在：內服從均勻分布，則的相關係數
例11．隨機變數均服從正態分佈，則
一定服從正態分佈不相關與獨立等價
一定服從正態分佈未必服從正態分佈
例12．在次獨立重複試驗中，分別表示成功和失敗的次數，則的相關係數等於
0例13．設是兩個隨機事件，定義兩個隨機變數如下：
和證明：不相關的充分必要條件是相互獨立。
例14．已知隨機變數的分布
其中為常數，則隨機變數的
例15．設為兩個隨機事件，且，，，
令 ，
求（）二維隨機變數的概率分布；
（）的相關係數；
（）的概率分布。
例16．設二維隨機變數的概率分布為
其中為常數，且的數字期望，
記 求（i）的值；（ii）z的概率分布；（iii）。
例17．設隨機變數的概率密度為
令為二維隨機變數的分布函式，求
（i）的概率度； （ii）； （iii）
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