第二章方程組與不等式
1、一次方程與方程組：一、等式及方程的有關概念
1．等式：用等號「＝」來表示相等關係的式子，叫做等式．
2．等式的性質：等式兩邊都加上(或減去)同乙個數或同乙個整式，所得結果仍是等式；等式兩邊都乘以(或除以)同乙個數(除數不能為0)，所得結果仍是等式．
二、方程的有關概念
1．含有未知數的等式，叫做方程．
2．使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值，叫做方程的解(只含有乙個未知數的方程的解，也叫做根)．
3．求方程解的過程，叫做解方程．
4．方程的兩邊都是關於未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程.
三、一元一次方程
1．一元一次方程
在整式方程中，只含有乙個未知數，並且未知數的次數是1，係數不等於0的方程，叫做一元一次方程．ax＋b＝0(a≠0)是一元一次方程的標準形式．
2．解一元一次方程的一般步驟
(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合併同類項；(5)係數化為1.
四、二元一次方程及解法
1．二元一次方程組
(1)幾個含有相同未知數的二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程組；
(2)二元一次方程的一般形式：ax＋by＝c.
2．解二元一次方程組的基本思路：消元
3．二元一次方程組的解法：(1)代入消元法；(2)加減消元法；(3)圖象法．
五、列方程組解應用題
1．列方程(組)解應用題的一般步驟
(1)把握題意，搞清楚什麼是條件，求什麼；(2)設未知數；通常是問什麼設什麼
(3)找出能夠包含未知數的等量關係(一般情況下設幾個未知數，就找幾個等量關係)；
(4)列出方程(組)；(5)求出方程(組)的解(注意排除增根)；
(6)檢驗(看是否符合題意)；(7)寫出答案(包括單位名稱)．
2．列方程(組)解應用題的關鍵是：確定等量關係．
2、一元二次方程及應用：一、一元二次方程的定義
1．定義在整式方程中，只含有乙個未知數，並且含未知數項的最高次數是2，這樣的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的標準形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
二、一元二次方程常用的解法
1．直接開平方法：如果x2＝a(a≥0)，則x＝±，則x1＝，x2＝－.
2．配方法：如果x2＋px＋q＝0且p2－4q≥0，則2＝－q＋2.
x1＝－＋，x2＝－－.
3．公式法：方程ax2＋bx＋c＝0且b2－4ac≥0，則x＝.
4．因式分解法：若ax2＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)，則ax2＋bx＋c＝0的根為x1＝－，x2＝－.（十字交叉相乘）
三、列一元二次方程解應用題
列一元二次方程解應用題的步驟和列一元一次方程(組)解應用題步驟一樣，即審、找、設、列、解、答六步．
四、一元二次方程根的判別式：△
關於x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式為b2－4ac.
1．b2－4ac＞0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個不相等的實數根，則x1,2＝；
2．b2－4ac＝0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個相等的實數根，即x1＝x2＝－；
3．b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數根；
五、一元二次方程根與係數之間的關係
1．若關於x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩根分別為x1、x2，則x1＋x2＝－，x1·x2＝.
2．(簡易形式)若關於x的一元二次方程x2＋px＋q＝0有兩個根分別為x1、x2，則x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.
3、分式方程及應用：一、分式方程及解法
1．分式方程：分母裡含有未知數的方程叫做分式方程．
2．解分式方程的基本思想
把分式方程轉化為整式方程，即：分式方程整式方程．
3．解分式方程的步驟：①去分母，轉化為整式方程；②解整式方程，得根；③驗根．
4．增根：在方程變形時，有時可能產生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．解分式方程時，有可能產生增根(使方程中有的分母為零的根)，因此解分式方程要驗根(其方法是代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的是增根，否則不是)．
二、與增根有關的問題
1．分式方程的增根必須同時滿足兩個條件
(1)是由分式方程化成的整式方程的根；
(2)使最簡公分母為零．
2．增根在含引數的分式方程中的應用
由增根求引數的值．解答思路為：①將原方程化為整式方程；②確定增根；③將增根代入變形後的整式方程，求出引數的值．
三、列分式方程解應用題
1．列分式方程解應用題和其他列方程解應用題一樣．不同之處是列出的方程是分式方程．
2．應用問題中常用的數量關係及題型
(1)數字問題．(包括日曆中的數字規律)
①設個位數字為c，十位數字為b，百位數字為a，則這個三位數是100a＋10b＋c；
②日曆中前後兩日差1，上下兩日差7.
(2)體積變化問題．(3)打折銷售問題．
①利潤＝售價－成本；②利潤率＝×100%.
(4)行程問題．(5)教育儲蓄問題．
①利息＝本金×利率×期數；②本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利潤×期數)；
③利息稅＝利息×利息稅率；④貸款利息＝貸款數額×利率×期數．
4、一元一次不等式及應用：一、不等式的基本概念
1．不等式用不等號連線起來的式子，叫做不等式．
2．不等式的解使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解．
3．不等式的解集乙個含有未知數的不等式的解的全體叫做不等式的解集．
4．一元一次不等式只含有乙個未知數，並且未知數的次數是一且係數不等於零的不等式，叫一元一次不等式．其一般形式為ax＋b＜0或ax＋b＞0(a≠0)．
5．解不等式求不等式解集的過程或證明不等式無解的過程，叫做解不等式．
二、不等式的基本性質
1．不等式兩邊都加上(或減去)同乙個數或同乙個整式，不等號的方向不變，即若a＜b，則a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)；
2．不等式兩邊都乘以(或除以)同乙個正數，不等號的方向不變，即若a＜b，且c＞0，則ac＜bc(或＜)；
3．不等式兩邊都乘以(或除以)同乙個負數，不等號的方向改變，即若a＜b，且c＜0，則ac＞bc(或＞)．
三、一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的基本步驟：去分母，去括號，移項，合併同類項，係數化為1.
四、一元一次不等式的應用
列不等式解應用題的一般步驟：
(1)審題；(2)設未知數；(3)確定包含未知數的不等量關係；(4)列出不等式；(5)求出不等式的解集；(6)檢驗不等式的解是否符合題意；(7)寫出答案．
5、一元一次不等式組及應用：一、一元一次不等式組的有關概念
1．定義：類似於方程組，把幾個含有相同未知數的一元一次不等式合起來，就組成了乙個一元一次不等式組．
2．解集：幾個不等式的解集的公共部分叫做由它們所組成的不等式組的解集．
二、一元一次不等式組的解法
1．解不等式組一般先分別求出不等式組中各個不等式的解集，再求出它們的公共部分(一般方法是在數軸上把每個不等式的解集表示出來，由圖形得出公共部分)，就得到不等式組的解集．
2．兩個一元一次不等式所組成的不等式組的解集一般情況可見下表(其中a＜b)：
三、一元一次不等式組的特殊解
一元一次不等式組的特殊解主要是指整數解、非負整數解、負整數解等．
不等式組的特殊解，包含在它的解集中．因此，解決此類問題的關鍵是先求出不等式組的解集，然後求其特殊解．
四、一元一次不等式組的應用
利用列不等式組解決問題的方法步驟與列一元一次方程組解應用題的步驟類似，不同的是後者尋求的是等量關係，列出的是等式，前者尋求的是不等量關係，列方的是不等式，解不等式組所得的結果通常為解集，根據題意需從解集中找出符合條件的答案．
在列不等式時，「不超過」「不多於」等用「≤」連線，「至少」「不少於」等用「≥」連線．
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