《概率論與數理統計》複習參考資料
授課教師：楊峰（函授總站高階講師）
強烈建議同志們以《綜合練習》為綱，仔細掌握其中的所有習題內容！
全書複習範圍：第
一、二、三、四、七、八、九、十一章
各章複習範圍：
第一章 §1.1——§1.5節都要複習
第二章只要求§2.1、§2.2
第三章只要求§3.1、§3.2、§3.2之方差
第四章該章重點在§4.1、§4.6，簡單了解§4.3、§4.4
第七章簡單了解——總體、樣本、樣本容量、統計量（樣本均值、樣本（均）方差）這幾個基本概念即可
第八章簡單了解§8.1，重點複習§8.3
第九章重點複習§9.3，其餘不必
第十一章會求變數y相對於變數x的回歸直線方程即可
附錄——南郵印發《綜合練習題與答案》中的部分錯誤之修正
注意：要列印的同志如果觀察到本資料後面幾頁有些式子重疊或混亂，是因為您的計算機作業系統不同或所用office軟體（word）版本不同的緣故，又或者是有無安裝「microsoft 公式3.0」的問題。
故建議您仔細觀察、逐頁列印，特別注意第八章後面的幾頁，如果有些式子還是重疊或混亂，可選中後按上、下箭頭鍵自行移動修正至整齊後再列印。敬請留意！（我這個文件是在win98下用word2000編輯，個別物件是從我的powerpoint課件中貼上過來的）另：
考試時允許攜帶計算器
第一章隨機事件及其概率
§1.1 隨機事件
一、給出事件描述，要求用運算關係符表示事件：
典型例題：《綜合練習》第一大題之1，其中第乙個空應填：
第二大題之1（正確答案應選c）
二、給出事件運算關係符，要求判斷其正確性：
典型例題：《綜合練習》第二大題之2，答案d應為
§1.2 概率
古典概型公式：p（a）=
實用中經常採用「排列組合」的方法計算（未學過的同志請自學初等數學的這部分內容）
補例1：將n個球隨機地放到n個盒中去，問每個盒子恰有1個球的概率是多少？
解：設a：「每個盒子恰有1個球」。求：p(a)=？
ω所含樣本點數：
α所含樣本點數：
補例2：將3封信隨機地放入4個信箱中，問信箱中信的封數的最大數分別為1、2、3的概率各是多少？
解：設ai ：「信箱中信的最大封數為i」。(i =1,2,3)求：p(ai)=？
ω所含樣本點數：
a1所含樣本點數：
a2所含樣本點數：
a3所含樣本點數：
《綜合練習》中的典型例題：《綜合練習》第二大題之6、7、9
第二大題之1、2
注：由概率定義得出的幾個性質：
1、02、p(ω)=1，p(φ) =0
§1.3 概率的加法法則
定理：設a、b是互不相容事件（ab=φ），則：
p（a∪b）=p（a）+p（b）
推論1：設a1、 a2、…、 an 互不相容，則
p(a1+a2+...+ an)= p(a1) + p(a2) +…+ p(an)
推論2：設a1、 a2、…、 an 構成完備事件組，則
p(a1+a2+...+ an)=1
推論3： p（a）=1－p（）
推論4：若ba，則p(b－a)= p(b)－p(a)
推論5（廣義加法公式）：
對任意兩個事件a與b，有p(a∪b)=p(a)+p(b)－p(a b)
補充——對偶律：
典型例題：《綜合練習》第二大題之5、第三大題之3
§1.4 條件概率與乘法法則
條件概率公式：
p(a/b)=（p(b)≠0）
p(b/a)=（p(a)≠0）
∴p（ab）=p（a/b）p（b）= p（b / a）p（a）
有時須與p（a+b）=p（a）+p（b）－p（ab）中的p（ab）聯絡解題。
全概率與逆概率公式：
全概率公式：
逆概率公式：
典型例題：《綜合練習》第一大題之2、3
第二大題之3、4
第三大題之4（注意全概率公式和逆概率公式的題型：將試驗可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件發生條件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）
§1.5 獨立試驗概型
事件的獨立性：
貝努里公式（n重貝努里試驗概率計算公式）：課本p24
另兩個解題中常用的結論——
1、定理：有四對事件：a與b、a與、與b、與，如果其中有一對相互獨立，則其餘三對也相互獨立。
2、公式：
典型例題：《綜合練習》第一大題之4（第二個空答案應為）、5、7
第二大題之8
第三大題之5
第一章到此結束
第二章隨機變數及其分布
一、關於離散型隨機變數的分布問題
1、求分布列：
⑴確定各種事件，記為ξ寫成一行；
⑵計算各種事件概率，記為p k寫成第二行。得到的錶即為所求的分布列。
注意：應符合性質——
1、（非負性） 2、（可加性和規範性）
補例1：將一顆骰子連擲2次，以ξ表示兩次所得結果之和，試寫出ξ的概率分布。
解：ω所含樣本點數：6×6=36
所求分布列為：
補例2：一袋中有5只桌球，編號1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以ξ表示取出3只球中最大號碼，試寫出ξ的概率分布。
解：ω所含樣本點數： =10
所求分布列為：
2、求分布函式f(x)：
分布函式
典型例題:《綜合練習》第一大題之10第乙個空（0.8），第二大題之10
二、關於連續型隨機變數的分布問題：
x∈r，如果隨機變數ξ的分布函式f（x）可寫成f（x）=，則ξ為連續型。稱概率密度函式。
解題中應該知道的幾個關係式：
典型例題：《綜合練習》第一大題之6（題目應為k=1,2,…）、10（兩個空答案分別應為0.8與2.3）與11第乙個空、12
《綜合練習》第二大題之10、11、12、18
《綜合練習》第三大題之6、8、9、10、12
第二章到此結束
第三章隨機變數數字特徵
一、求離散型隨機變數ξ的數學期望eξ=？
數學期望（均值）
典型例題：《綜合練習》第一大題之10、11
《綜合練習》第二大題之13
二、設ξ為隨機變數，f(x)是普通實函式，則η=f(ξ)也是隨機變數，求eη=?
以上計算只要求這種離散型的。
補例1：設ξ的概率分布為：
求：⑴，的概率分布；⑵。
解：因為
所以，所求分布列為：
和：當η=ξ－1時，eη=e（ξ－1）
=－2×+(－1)×+0×+1×+×
=1/4
當η=ξ2時，eη=eξ2=1×+0×+1×+4×+×
=27/8
三、求ξ或η的方差dξ=？ dη=？
實用公式=－
其中， ==
=補例2：
求：e ξ 和d ξ
解： =－2×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2
2=（－2）2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8
=2－=2.8－（－0.2）2=2.76
《綜練》三之13也是該類題
第三章到此結束
第四章幾種重要的分布
常用分布的均值與方差（同志們解題必備速查表）
解題中經常需要運用的e ξ和d ξ的性質（同志們解題必備速查表）
典型例題：《綜合練習》第一大題之8（第二個空應為0.27648）、9（題目應為φ（x）=…又e的指數前面應帶負號）、13、14
《綜合練習》第二大題之14、15、16、17
《綜合練習》第三大題之7、11、14、15（這四個題目是難點，下些功夫看看，特別15題）
第四章到此結束
第八章引數估計
§8.1 估計量的優劣標準（以下可作填空或選擇）
⑴若總體引數θ的估計量為，如果對任給的ε>0，有
，則稱是θ的一致估計；
⑵如果滿足，則稱是θ的無偏估計；
⑶如果和均是θ的無偏估計，若，則稱是比有效的估計量。
§8.3 區間估計：
幾個術語——
1、設總體分布含有一位置引數，若由樣本算得的乙個統計量及，對於給定的（0<<1）滿足：
則稱隨機區間（，）是的100（1－）％的置信區間，和稱為的100（1－）％的置信下、上限，百分數100（1－）％稱為置信度。
一、求總體期望（均值）e ξ的置信區間
1、總體方差已知的型別
①據，得＝1－，反查表（課本p260表）得臨界值；
②= ③求d= ④置信區間（-d， +d）
補簡例：設總體隨機取4個樣本其觀測值為12.6，13.4，12.8，13.2，求總體均值μ的95%的置信區間。
解：①∵1－α=0.95，α=0.05
∴φ（uα）=1－=0.975，反查表得：uα=1.96
②③∵σ=0.3，n=4 ∴d===0.29
④所以，總體均值μ的α=0.05的置信區間為：
（－d，＋d）=（13－0.29，13＋0.29）即（12.71，13.29）
2、總體方差未知的型別（這種型別十分重要！務必掌握！！）
①據和自由度n－1（n為樣本容量），查表（課本p262表）得；
②確定=和
③求d置信區間（-d， +d）
典型例題：《綜合練習》第三大題之16（綜練後附答案，自看）
補例1：課本p165之11
解：①∵1－α=0.95，α=0.05，又n=15，自由度n－1=14
∴查表得，t0.05(14)=2.145
②=1950，s=300
③d===166.28
④所以，該批電子管平均壽命μ的α=0.05的置信上、下限為：
上限=＋d=1950＋166.28=2116.28（小時）
下限=－d=1950－166.28=1783.72（小時）
注：無特別宣告，一般可保留小數點後兩位，下同。
二、求總體方差的置信區間
①據α和自由度n－1（n為樣本數），查表得臨界值：
和②確定=和
③上限下限
概率論複習
這文章沒什麼特別的，也就算是我再次溫習一下概率論。希望也對各位有所幫助！雖然我們的教材名為 概率論與數理統計 其實我們主要學的是概率論部分，數理統計只涉及一點點。其實分解一下，我們學的東西並不多。隨機事件，隨機變數 一維，二維 數理統計，大體也就分這幾部分。如果對複習有時間要求，可以嘗試一下這個方法...
概率論期末複習
複習第一章 1 事件的關係及運算 會把事件轉化為符號表示式 2 概率性質 會用這幾個性質計算事件的概率 3 古典概率 摸球問題和球入盒問題 4 條件概率 乘法公式 全概率公式 貝葉斯概率 5 獨立性 定義在獨立條件下的加法公式和乘法公式 1？2 某廠有三條流水線生產同一產品，每條流水線的產品分別佔總...
概率論上課複習
第一章1.理解隨機事件的頻率及概率的含義和基本性質。2.掌握古典概型的定義，會使用概率的加法公式及逆事件概率計算公式計算基本 的等概問題。3.理解條件概率的定義，掌握乘法公式 全概率公式和貝葉斯公式，會利用公式 進行概率計算。1.設，則為 a b c d 2 若二事件a和b同時出現的概率，則 a a...