第5課古典概型
【考點導讀】
1.在具體情境中，了解隨機事件發生的不確定性及頻率的穩定性，進一步了解概率的意義以及概率與頻率的區別.
2.正確理解古典概型的兩大特點：1）試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；2）每個基本事件出現的可能性相等.
【基礎練習】
1. 某射手在同一條件下進行射擊，結果如下表所示：
（1）填寫表中擊中靶心的頻率；
（2）這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是什麼？
分析：事件a出現的頻數na與試驗次數n的比值即為事件a的頻率，當事件a發生的頻率fn（a）穩定在某個常數上時，這個常數即為事件a的概率.
解：（1）表中依次填入的資料為：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由於頻率穩定在常數0.89，所以這個射手擊一次，擊中靶心的概率約是0.89.
點評概率實際上是頻率的科學抽象，求某事件的概率可以通過求該事件的頻率而得之.
2．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中正面向上恰有5次是隨機事件 （必然、隨機、不可能）
3．下列說法正確的是 ③ .
①任一事件的概率總在（0.1）內不可能事件的概率不一定為0
③必然事件的概率一定為1以上均不對
4.一枚硬幣連擲3次，只有一次出現正面的概率是
5. 從分別寫有a、b、c、d、e的5張卡片中，任取2張，這2張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰的概率為
【範例解析】
例1. 連續擲3枚硬幣，觀察落地後這3枚硬幣出現正面還是反面.
（1）寫出這個試驗的基本事件；
（2）求這個試驗的基本事件的總數；
（3）「恰有兩枚正面向上」這一事件包含哪幾個基本事件?
解：（1）這個試驗的基本事件ω=；
（2）基本事件的總數是8.
（3）「恰有兩枚正面向上」包含以下3個基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.
點評一次試驗中所有可能的結果都是隨機事件，這類隨機事件稱為基本事件.
例2. 拋擲兩顆骰子，求：
（1）點數之和出現7點的概率；
（2）出現兩個4點的概率.
解：作圖，從下圖中容易看出基本事件空間與點集s=中的元
素一一對應.因為s中點的總數是6×6=36（個），所以基本事件總數n=36.
（1）記「點數之和出現7點」的事件為a，從圖中可看到事件a包含的基本事件數共6個：（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以p（a）=.
（2）記「出現兩個4點」的事件為b，則從圖中可看到事件b包含的基本事件數只有1個：（4，4）.所以p（b）=.
點評在古典概型下求p（a），關鍵要找出a所包含的基本事件個數然後套用公式
變題 .在一次口試中，考生要從5道題中隨機抽取3道進行回答，答對其中2道題為優秀，答對其中1道題為及格，某考生能答對5道題中的2道題，試求：
（1）他獲得優秀的概率為多少；
（2）他獲得及格及及格以上的概率為多少；
點撥：這是一道古典概率問題，須用列舉法列出基本事件數.
解：設這5道題的題號分別為1,2，3，4，5，則從這5道題中任取3道回答，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5），
（2，4，5），（3，4，5）共10個基本事件．
（1）記「獲得優秀」為事件a，則隨機事件a中包含的基本事件個數為3，故．
（2）記「獲得及格及及格以上」為事件b，則隨機事件b中包含的基本事件個數為9，故．
點評：使用列舉法要注意排列的方法，做到不漏不重.
例3. 從含有兩件**a1，a2和一件次品b1的三件產品中，每次任取一件，每次取出後不放回，連續取兩
次，求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率.
解：每次取出乙個，取後不放回地連續取兩次，其一切可能的結果組成的基本事件有6個，即（a1，a2），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）.其中小括號內左邊的字母表示第1次取出的產品，
右邊的字母表示第2次取出的產用a表示「取出的兩種中，恰好有一件次品」這一事件，則
a=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）] 事件a由4個基本事件組成，因而，p（a）==
【反饋演練】
1.某人進行打靶練習，共射擊10次，其中有2次中10環，有3次環中9環，有4次中8環，有1次未中靶，試計算此人中靶的概率，假設此人射擊1次，試問中靶的概率約為 0.9 中10環的概率約為 0.
2 .
分析：中靶的頻數為9，試驗次數為10，所以中靶的頻率為=0.9，所以中靶的概率約為0.9．
解：此人中靶的概率約為0.9；此人射擊1次，中靶的概率為0.9；中10環的概率約為0.2．
2.一棟樓房有4個單元，甲乙兩人被分配住進該樓，則他們同住一單元的概率是 0.25 .
3. 在第1,3,6,8,16路公共汽車都要停靠的乙個站（假定這個站只能停靠一輛汽車），有一位乘客等候第6
路或第16路汽車.假定當時各路汽車首先到站的可能性相等，則首先到站正好是這位乘客所需乘的汽車的
概率等於
4.把三枚硬幣一起丟擲，出現2枚正面向上，一枚反面向上的概率是
5.有5根細木棒，長度分別為1,3 ,5 ,7 ,9，從中任取三根，能搭成三角形的概率是
6. 從1，2，3，…，9這9個數字中任取2個數字，
（1）2個數字都是奇數的概率為
（2）2個數字之和為偶數的概率為
7. 某小組共有10名學生，其中女生3名，現選舉2名代表，至少有1名女生當選的概率為
8. a、b、c、d、e排成一排，a在b的右邊（a、b可以不相鄰）的概率是
9．在大小相同的5個球中，2個是紅球，3個是白球，若從中任取2個，則所取的2個球中至少有乙個紅球的概率是
10. 用紅、黃、藍三種不同顏色給下圖中3個矩形隨機塗色，每個矩形只塗一種顏色，求：
（1）3個矩形顏色都相同的概率；（2）3個矩形顏色都不同的概率.
解：所有可能的基本事件共有27個，如圖所示.
（1）記「3個矩形都塗同一顏色」為事件a，由圖知，事件a的基本事件有1×3=3個，故p（a）=.
（2）記「3個矩形顏色都不同」為事件b，由圖可知，事件b的基本事件有2×3=6個，故p（b）=.
11. 甲、乙兩個均勻的正方體玩具，各個面上分別刻有1，2，3，4，5，6六個數字，將這兩個玩具同時
擲一次.
（1）若甲上的數字為十位數，乙上的數字為個位數，問可以組成多少個不同的數，其中個位數字與十位數字均相同的數字的概率是多少?
（2）兩個玩具的數字之和共有多少種不同結果?其中數字之和為12的有多少種情況?數字之和為6的共有多少種情況?分別計算這兩種情況的概率.
解：（1）甲有6種不同的結果，乙也有6種不同的結果，故基本事件總數為6×6=36個.其中十位數字共有6種不同的結果，若十位數字與個位數字相同，十位數字確定後，個位數字也即確定.
故共有6×1=6種不同的結果，即概率為.
（2）兩個玩具的數字之和共有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11種不同結果.從中可以看出，出現12的只有一種情況，概率為.出現數字之和為6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五種情況，所以其概率為.
12.現有一批產品共有10件，其中8件為**，2件為次品：
（1）如果從中取出一件，然後放回，再取一件，求連續3次取出的都是**的概率；
（2）如果從中一次取3件，求3件都是**的概率．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取順序（x,y,z）記錄結果，則x,y,z都有10種可能，所以試驗結果有
10×10×10=103種；設事件a為「連續3次都取**」，則包含的基本事件共有8×8×8=83種，
因此，p(a)= =0.512．
（2）可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄（x,y,z），則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗的所有結果為10×9×8=720種．設事件b為「3件都是**」，則事件b包含的基本事件總數為8×7×6=336, 所以p(b)= ．
第6課幾何概型
【考點導讀】
1．了解幾何概型的基本特點.
2．會進行簡單的幾何概率的計算.
【基礎練習】
1．在500ml的水中有乙個草履蟲，現從中隨機取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發現草履蟲的概率是
0.004
2. 取一根長度為3 m的繩子，拉直後在任意位置剪斷，那麼剪得兩段的長都不小於1 m的概率是
3. 在1萬 km2的海域中有40 km2的大陸架貯藏著石油，假如在海域中任意一點鑽探，鑽到油層面的概率
是 4. 如下圖，在乙個邊長為3 cm的正方形內部畫乙個邊長為2 cm的正方形，向大正方形內隨機投點，則所投的點落入小正方形內的概率是 .
5. 如下圖，在直角座標系內，射線ot落在60°的終邊上，任作一條射線oa，則射線落在∠xot內的概率是 .
【範例解析】
例1. 在等腰rt△abc中， (1)在斜邊ab上任取一點m，求am的長小於ac的長的概率.
（2）過直角頂點c在內作一條射線cm，與線段ab交於點m，求am解：(1)在ab上擷取ac′=ac，於是p（am＜ac）=p（am＜）=.
(2) 在ab上擷取ac′=ac, 於是p（am＜ac）
點評 （1）對於幾何概型中的背景相同的問題，當等可能的角度不同時，其概率是不一樣的（2）在利用幾何概率公式計算概率時，必須注意d與d的測度單位的統一.
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