習題7-1
1. 指出下列各點所在的座標軸、座標面或卦限：
a(2，1,-6)，b(0，2，0)，c(-3，0,5)，d(1，-1，-7).
解：a在v卦限，b在y軸上，c在xoz平面上，d在viii卦限。
2. 已知點m(-1，2，3)，求點m關於座標原點、各座標軸及各座標面的對稱點的座標.
解：設所求對稱點的座標為(x，y，z)，則
(1) 由x-1=0，y+2=0，z+3=0，得到點m關於座標原點的對稱點的座標為：(1，-2，-3).
(2) 由x=-1，y+2=0，z+3=0，得到點m關於x軸的對稱點的座標為：(-1，-2，-3).
同理可得：點m關於y軸的對稱點的座標為：(1， 2，-3)；關於z軸的對稱點的座標為：(1，-2，3).
(3)由x=-1，y=2，z+3=0，得到點m關於xoy面的對稱點的座標為：(-1， 2，-3).
同理，m關於yoz面的對稱點的座標為：(1， 2，3)；m關於zox面的對稱點的座標為：(-1，-2，3).
3. 在z軸上求與兩點a(-4，1，7)和b(3，5，-2)等距離的點.
解: 設所求的點為m(0，0，z)，依題意有|ma|2=|mb|2，即
(-40)2(10)2(7z)2(30)2(50)2(-2z)2
解之得z=11，故所求的點為m(0，0，).
4. 證明以m1(4,3,1)，m2(7,1,2)，m3(5,2,3)三點為頂點的三角形是乙個等腰三角形.
解：由兩點距離公式可得，
所以以m1(4,3,1)，m2(7,1,2)，m3(5,2,3)三點為頂點的三角形是乙個等腰三角形.
5. 設平面在座標軸上的截距分別為a=2,b=－3,c=5,求這個平面的方程.
解：所求平面方程為。
6. 求通過x軸和點(4,－3,－1)的平面方程.
解：因所求平面經過x軸，故可設其方程為
ay+bz =0.
又點(4,－3,－1)在平面上，所以-3a-b =0.即b=-3 a代入並化簡可得 y-3z =0.
7. 求平行於y軸且過m1(1,0,0)，m2(0,0,1)兩點的平面方程.
解：因所求平面平行於y軸，故可設其方程為
ax+cz+d=0.
又點m1和m2都在平面上，於是
可得關係式：a=c=－d,代入方程得：－dx－dz+d=0.
顯然d≠0,消去d並整理可得所求的平面方程為x+z－1=0.
8. 方程x2+y2+z2－2x+4y=0表示怎樣的曲面？
解：表示以點（1，-2，0）為球心，半徑為的球面方程。
9. 指出下列方程在平面解析幾何與空間解析幾何中分別表示什麼幾何圖形？
(1) x－2y=1； (2) x2+y2=1；
(3) 2x2+3y2=1； (4) y=x2.
解：(1)表示直線、平面。(2)表示圓、圓柱面。(3)表示橢圓、橢圓柱面。
(4)表示拋物線、拋物柱面。
習題7-2
1. 下列各函式表示式:
(1) 已知f(x,y)=x2+y2,求；
(2) 已知求f(x,y).
解：（1）
（2）所以2. 求下列函式的定義域，並指出其在平面直角座標系中的圖形：
(1)； (2);
(3)； (4)
解：（1）由可得
故所求定義域為d=表示xoy平面上不包含圓周的區域。
（2）由
可得故所求的定義域為d=，表示兩條帶形閉域。
（3）由
可得故所求的定義域為d=，表示xoy平面上直線y=x以下且橫座標的部分。
（4）由
可得故所求的定義域為d=。
3. 說明下列極限不存在：
(1)； (2).
解：（1）當點p(x,y)沿直線y=kx趨於點(0,0)時，有
。顯然，此時的極限值隨k的變化而變化。 因此，函式f(x,y)在(0,0)處的極限不存在。
（2）當點p(x,y)沿曲線趨於點(0,0)時，有
。顯然，此時的極限值隨k的變化而變化。 因此，函式f(x,y)在(0,0)處的極限不存在。
4. 計算下列極限：
(1)； (2);
(3)； (4).
解：（1）因初等函式在(0,1)處連續，故有
（2）（3）
（4）。
5. 究下列函式的連續性：
(1)(2)解：(1)
所以f(x,y)在(0,0)處連續.
(2)該極限隨著k的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)處不連續.
6. 下列函式在何處間斷？
(1)； (2).
解：(1)z在處間斷.
(2)z在處間斷.
習題7-3
1. 求下列函式偏導數：
(1) z=x3+3xy+y32);
(34)
(56)
解：(1)
(2)(3)(4)(5)(6)2. 求下列函式在指定點處的偏導數：
(1) f(x,y)=x2－xy+y2，求fx(1,2)，fy(1,2);
(2);求
(3); 求
(4), 求.
解：(1)
(2)因此(3)因此所以. (4)
故3．設，證明：
(1);
(2);
(3).
證明：利用函式關於自變數的對稱性，可推斷得到：
(1)(2)利用函式關於自變數的對稱性，可推斷得到：
(3)利用函式關於自變數的對稱性，可推斷得到：
.4. 求下列函式的二階偏導數, ,：
(12).
解：(1)
(2)5. 某水泥廠生產a,b兩種標號的水泥，其日產量分別記作x,y(單位：噸)，總成本(單位：元)為
c(x,y)=20+30x2+10xy+20y2,
求當x=4,y=3時，兩種標號水泥的邊際成本，並解釋其經濟含義.
解： 經濟含義:當a,b兩種標號的水泥日產量分別4噸和3噸時，如果b水泥產量不變，而a水泥的產量每增加1噸，成本將增加270元；如果a水泥產量不變，而b水泥的產量每增加1噸，成本將增加160元。
6. 設某商品需求量q與**為p和收入y的關係為
q=400－2p+0.03y.
求當p=25,y=5000時，需求q對**p和收入y的偏彈性，並解釋其經濟含義.
解：經濟含義: **為25和收入為5000時，如果**不變，而收入增加1個單位，商品的需求量將增加0.03；如果收入不變，而**增加1個單位，商品的需求量將減少2.
習題7-4
1. 求下列函式的全微分：
(1) z=4xy3+5x2y62)
(3) u=ln(x－yz4)
解：(1)
所以(2)所以(3)所以(4)所以2. 計算函式z=xy在點(3，1)處的全微分.
解： 所以
3. 求函式z=xy在點(2，3)處，關於δx=0.1，δy=0.2的全增量與全微分.
解：所以
4. 計算 (1.04) 2.02的近似值.
設函式f(x,y)=
f(1,3)=13=1,fx(x,y)=yxy-1,fy(x,y)=xylnx,
fx(1,2)=2,fy(1,2)=0.
由二元函式全微分近似計算公式(7-18)，得
(1.05) 3.02≈1+2×0.04+0×0.02=1.08.
5. 設有乙個無蓋圓柱形玻璃容器，容器的內高為20 cm，內半徑為4 cm，容器的壁與底的厚度均為0.1 cm，求容器外殼體積的近似值.
解：解設圓柱的直徑和高分別用x，y表示，則其體積為
.於是，將所需的混凝土量看作當x+δx=8+2×0.1，y+δy=20+0.1與x=8，y=20時的兩個圓柱體的體積之差δv(不考慮底部的混凝土)，因此可用近似計算公式
δv≈dv=fx(x,y)δx+fy(x,y)δy.
又，代入x=8，y=20，δx=0.2，
δy=0.1，得到
(m3).
因此，大約需要55.264m3的混凝土.
習題7-5
1. 求下列函式的全導數：
(1) 設z=e3u+2v，而u=t2,v=cost,求導數；
(2) 設z=arctan(u－v),而u=3x,v=4x3,求導數;
(3) 設z=xy+sint,而x=et,y=cost,求導數
解： (1)
(2)(3)2. 求下列函式的偏導數(其中f具有一階連續偏導數)：
(1) 設z=u2v－uv2，而u=xsiny,v=xcosy，求和；
(2) 設z=(3x2+y2)4x+2y，求和；
(3) 設u=f(x,y,z)=ex+2y+3z,z=x2cosy，求和；
(4) 設w=f(x，x2y，xy2z)，求, ,.
解：(1)
(2) 令.
(3)3. 應用全微分形式的不變性，求函式的全微分.
解：令而
故4. 已知sinxy－2z+ez=0,求和..
解：兩同時對x求偏導，可得
故兩邊同時對y求偏導，可得
故5. 若f的導數存在，驗證下列各式：
(1) 設u=yf(x2－y2)，則；
(2) 設，則.
證：(1),
所以.(2),
所以.6. 求下列函式的二階偏導數(其中f具有二階連續偏導數)：
(1)；
(2) z=ylnx；
(3) z=f(xy,x2－y2).
解：(1)由第3題可知
故.(2) 故,.
(3)故7. 求由下列方程所確定的隱函式z=f(x,y)的偏導數：
(1) x2+y2+z2－4z=0；
(2) z3－3xyz=1.
解：(1)兩邊同時對x求偏導得故
兩邊同時對y求偏導得故
(2) 兩邊同時對x求偏導得故
兩邊同時對y求偏導得故
習題7-6
1. 求下列函式的極值：
(1) f(x,y)=x2+y3－6xy+18x－39y+16；
高等數學習題詳解第7章多元函式微分學
習題7 1 1.指出下列各點所在的座標軸 座標面或卦限 a 2，1,6 b 0，2，0 c 3，0,5 d 1，1，7 解 a在v卦限，b在y軸上，c在xoz平面上，d在viii卦限。2.已知點m 1，2，3 求點m關於座標原點 各座標軸及各座標面的對稱點的座標.解 設所求對稱點的座標為 x，y，z...
多元函式微分學及應用總結
函式在幾何形體上的積分 二 題型與解法 一 多元函式的基本概念 1 平面點集，平面點集的內點 外點 邊界點 聚點，多元函式的定義等概念 2 多元函式的極限 或 的定義 掌握判定多元函式極限不存在的方法 1 令沿趨向，若極限值與k有關，則可斷言函式極限不存在 2 找兩種不同趨近方式，若存在，但兩者不相...
考研高數 多元函式微分學
多元函式微分學 一 基本概念 1 二元函式連續 設函式在區域內有定義，且 若則稱函式在點連續 2 偏導數 設二元函式在點的某去心鄰域內有定義，則 3 全微分 若在點的全增量可表示為 則稱函式在點可微分 全微分為 注 若函式在點可微，則函式在點必定 反之，若函式在點 則函式在點不可微 若函式在點可微，...