習題7.1
1、 隨機地從一批釘子中抽取10枚，測得長度（單位：cm）如下：
2.11，2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.14，2.12，2.13
試求這批釘子長度總體均值μ及方差σ2的矩估計值，並求樣本方差s2 .
解：＝＝2.127；＝＝0.014182＝0.000201；
.2、 設總體x服從幾何分布，其分布律為：
p（x=k）=（1-p）k-1p，k=1，2，……，
其中p為未知引數，(x1,x2,…,xn)是取自總體x的乙個樣本，求p的矩估計.
解：ex＝.
設，|x|<1.，.
ex＝, ,.
3、 設總體x的概率密度為
其中θ>0,(x1,x2,…,xn)是取自總體x的乙個樣本，試求未知引數θ的矩估計.
解：ex＝,=3ex,.
4、設( x1,x2,…,xn)是取自總體x的乙個樣本，求下述各總體的概率密度函式中的未知引數θ的最大似然估計.
（1）.
解：似然函式為
l(θ)= (0≤xi≤1,i=1,2,…,n) ，
(0≤xi≤1,i=1,2,…,n) ，
令從中解得 ，此即為θ的最大似然估計.
（2）解：似然函式為
l(θ)= (0 (0令
從中解得 ，此即為θ的最大似然估計.
5、設總體x服從二項分布b(m,p)，其中m已知，p為未知引數，(x1,x2,…,xn)是取自總體x的乙個樣本求p的矩估計和最大似然估計.
解：ex＝mp,p=ex/p,.
6、設總體x服從指數分布exp（λ），概率密度函式為
(x1,x2,…,xn)是取自總體x的乙個樣本.求未知引數λ的矩估計與最大似然估計.
解：ex＝1/λ, 所以λ的矩估計.再求λ的最大似然估計.
似然函式為
l(λ)= (0 (0令
從中解得 ，此即為θ的最大似然估計.
習題7.2
1、設(x1,x2,…,x6)是取自總體x的乙個樣本，θ=e(x)為待估引數.問下列點估計中哪些是θ的無偏估計？
解：；，.，是θ的無偏估計.
2、設隨機變數x～p（λ），(x1,x2,…,xn)是取自x的乙個樣本.試證是引數λ2的無偏估計.
解： 所以是引數λ2的無偏估計.
3、設隨機變數x～，試證是引數θ的無偏估計.
解：ex=θ，，所以是引數θ的無偏估計.
4、設總體x的數學期望為μ，(x1,x2,…,xn)是取自x的乙個樣本.a1,a2,…,an是任意常數，驗證是μ的無偏估計.
解：e，
所以是μ的無偏估計.
5、設第1題中的總體x的方差var(x)存在.問θ的哪個無偏估計較為有效？
解：≈0.21dx，
≈0.17dx，，較有效.
習題7.3
1、測試某種清漆的乾燥時間，隨機抽取12個樣品，其乾燥時間（以小時計）分別為
6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0，6.2，5.9，6.4
設乾燥時間總體服從正態分佈n(μ,σ2)，對以下兩種情況分別求μ的95%置信區間.
(1)若由以往經驗知σ=0.5（小時）；(2)若σ為未知.
解：(1)＝6.0417，s＝0.5071，α＝0.05，
＝（5.7588，6.3246）；
(2)＝＝（5.7195，6.3639）.
2、包糖機某日開工包了10包糖，稱得的重量（單位：g）分別為
505,515,520,525,510,485,490,505,500,495
假設糖包重量服從正態分佈，試求糖包平均重量的95%置信區間.
解：＝505，s＝12.9099，α＝0.05，＝，＝505＝5059.2354＝（495.765，514.235）.
3、為估計一批鋼索所能承受的平均張力，從其中隨機抽樣做了9次試驗.由試驗結果算得張力的樣本均值為6720kg/cm2, 樣本標準差s為220 kg/cm2.設張力服從正態分佈，試求鋼索所能承受平均張力的95%置信區間.
解：＝6720，s＝220，α＝0.05，＝，
＝（6720169.11）＝（6550.89，6889.11）.
4、設炮彈初速服從正態分佈，隨機地取9發炮彈做試驗，得炮彈初速度樣本標準差為11（m/s）,分別求炮彈初速度的方差σ2和標準差σ的90%置信區間.
解：σ2的置信區間＝＝（62.42，354.19）；
σ的置信區間＝（7.90，18.82）.
5、對某農作物兩個品種a,b計算了8個地區的畝產量（單位：kg）如下：
品種a 430，435，280，465，420，465，375，395
品種b 400，395，290，455，385，410，380，330
假定兩個品種的畝產量分別服從正態分佈n(μ1,σ2)和n(μ2,σ2)， 試求兩個品種平均畝產量之差μ1-μ2的95%置信區間.
解：置信區間，＝408.125，＝380.625，s1＝60.3524，s2＝50.3869，
＝t0.975（14）＝2.1448，
＝，＝27.52.1448×55.5934×0.5＝（-32.12，87.12）
6、隨機地從甲批導線中抽取4根，從乙批導線中抽取5根，測得其電阻(單位:ω)分別為
甲批導線: 0.142, 0.143, 0.137, 0.143
乙批導線: 0.138, 0.140, 0.136, 0.140, 0.142
設兩批導線電阻分別服從n(μ1,σ2)和 n(μ2,σ2)，並且它們相互獨立，試求μ1-μ2的95%置信區間.
解：置信區間，
＝0.14125，＝0.1392，s1＝0.002872，s2＝0.002280，
＝t0.975（7）＝2.3646，
＝，＝0.002050.0039＝（－0.002，0.006）
7、兩台工具機加工同一種零件，從中分別隨機抽取6個和9個零件，測量其長度，並計算出
兩個樣本的方差分別為s12=0.245(mm)2, s22=0.357(mm)2.
假定各台工具機所加工的零件長度總體都服從正態分佈.試求兩個總體方差之比σ12/σ22的置信水平為95%的置信區間.
解：置信區間＝＝（0.142，4.639），
8、有兩位化驗員甲、乙，他們獨立地對某種聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次測定，其測定值的樣本方差依次為0.5419和0.6065，設甲、乙測得的資料總體分別服從方差依次為σ12和σ22的正態分佈，試求σ12/σ22的置信水平為95%的置信區間.
解：置信區間＝
＝（0.222，3.601）
9、設某種電器零件的電阻（單位:ω）服從正態分佈n(μ,σ2).從這種零件中隨機抽取15只，測得電阻為：
3.0，2.7，2.
9，2.8，3.1，2.
6，2.5，2.8，2.
4，2.9，2.7，2.
6，3.2，3.0，2.
8.試求：(1)電阻均值μ的95%單側置信下限；
解：＝2.8-1.7613×＝2.698.
(2)電阻方差σ2的95%單側置信上限.
解：＝＝＝0.1065.
10、試求第6題中，μ1-μ2的置信水平為95%的單側置信下限.
解：.＝0.14125，＝0.1392，
＝t0.95（7）＝1.8946，，＝-0.001
複習題七
1、 總體x服從區間（0，b）上的均勻分布，（1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1）是來自總體的一組樣本值，試用矩法估計總體均值，總體方差及引數b.
解：＝1.2，＝0.407，，＝2.4.
2、 設總體x服從γ分布，其概率密度為
(x1,x2,…,xn)是取自總體x的乙個樣本，試求α及λ的矩估計.
解：＝＝.
＝，dx=ex2-（ex）2＝.
，，.3、設總體x服從幾何分布，其分布律為：
p（x=k）=（1-p）k-1p，k=1，2，……，
其中p為未知引數，(x1,x2,…,xn)是取自總體x的乙個樣本，求p的最大似然估計.
解： l(p
對數似然函式為：，
對p求導並令其為0: =0，解得：
4、 設總體x服從區間[0，θ]上的均勻分布，(x1,x2,…,xn)是取自總體x的乙個樣本，求未知引數θ的最大似然估計.
解： l(θ)=
l(θ)在（-∞，max（xi））恒為0，在（max（xi），+∞）單調遞減，所以l(θ)在
θ＝max（xi）處取到最大值，最大似然估計為.
5、 設總體x的概率密度為，(x1,x2,…,xn)是取自總體x的乙個樣本.求未知引數θ的最大似然估計.
解： l(θ)=,
對數似然函式為
對θ求導並令其為0:
從中解得即為θ的最大似然估計.
6、設是引數θ的無偏估計，且有var()>0,試證不是θ2的無偏估計.
解：e{}＝var（）+[e（）]2= var（）+θ2>θ2,所以不是θ2的無偏估計.
7、設( x1,x2,…,xm) 與( y1,y2,…,yn)分別是來自正態總體n(μ1,σ2)和n(μ2,σ2)的樣本，s12,s22分別是這兩個樣本的樣本方差.驗證統計量
是σ2的無偏估計.
解：e{}＝＝
＝σ2，所以是σ2的無偏估計.
8、設總體x服從指數分布exp（λ），其概率密度為
(x1,x2,…xn) 是取自總體x的乙個樣本.
（1）試證：和nz=n[min(x1,x2,…,xn)]都是引數的無偏估計；
（2）求與nz=n[min(x1,x2,…,xn)]的方差，判斷這兩個無偏估計中何者較有效.
解：（1）e（）＝e（xi）＝;
z的分布函式為：fn（z）＝1-[1-fx（z）]n，概率密度為fn（z）＝n[1-fx（z）]n-1fx（z）,
,fx（x）= fn（z）＝
ez==, e(nz)=
所以和nz=n[min(x1,x2,…,xn)]都是引數的無偏估計.
（2）var（）＝；var（z）＝e（z2）-(θ/n)2.
e（z2）==, var（nz）＝n2dz=θ2. var（）< var（nz）,較有效.
9、設從均值為μ，方差為σ2>0的總體中，分別抽取容量為n1,n 2的兩個獨立樣本，和分別是這兩個樣本的樣本均值，試證,對於任意常數a,b(a+b=1),都是μ的無偏估計.並確定常數a,b,使var(y)達到最小.
第456章習題解答
習題四參考解答 4.1 慣性系相對慣性係以速度運動。當它們的座標原點與重合時，在慣性系中一質點作勻速率圓周運動，軌道方程為 試證 在慣性系中的觀測者觀測到該質點作橢圓運動，橢圓的中心以速度運動。提示 在慣性系中的觀測者觀測到該質點的軌道方程為 證明 根據洛侖茲座標變換關係 代入原方程中，得到 化簡得...
第3章習題解答
1 select語句如何實現投影操作？如何實現選擇操作？2 試述二個表之間的自然連線操作工作原理，要實現二表之間的自然連線對二個表有什麼要求？如何將二表之間的自然連線擴充套件到多個表導航查詢？1 假設圖書管理資料庫中有4個表 圖書分類 圖書 借閱和讀者。它們的模式及表結構分別如下 讀者表 證件號 文...
習題解答第3章
第三章 電阻電路的一般分析 習題解答 一 選擇題 1 圖3 1所示電路中v，電流b a a b a c a d a2 圖3 2所示電路中，節點1的自電導 c a b cd 3 圖3 3所示電路中，增大，將導致 c a 增大，增大 b 減小，減小 c 不變，減小 d 不變，增大 4 對於圖3 4所示電...