函式在幾何形體上的積分
二、題型與解法
一、多元函式的基本概念
1、平面點集，平面點集的內點、外點、邊界點、聚點，多元函式的定義等概念
2、多元函式的極限
（或）的定義
掌握判定多元函式極限不存在的方法：
（1）令沿趨向，若極限值與k有關，則可斷言函式極限不存在；
（2）找兩種不同趨近方式，若存在，但兩者不相等，此時也可斷言極限不存在。
多元函式的極限的運算法則（包括和差積商，連續函式的和差積商，等價無窮小替換，夾逼法則等）與一元類似：
例1．用定義證明
例2（03年期末考試
三、1，5分）當時，函式的極限是否存在？證明你的結論。定理，介值定理
二、多元函式的偏導數
1、 二元函式關於的一階偏導數的定義（二元以上類似定義）
如果極限存在，則有
（相當於把y看成常數！所以求偏導數本質是求一元函式的導數。）
如果極限存在，則有
對於分段函式，在分界點的偏導數要用定義求。
2、 二元函式關於的高階偏導數（二元以上類似定義）
定理：若兩個混合二階偏導數在區域d內連續，則有。
例1．設，其中為常數，求：。
3、在點偏導數存在在點連續（07年，04年，02年等）
4、偏導數的幾何意義：表示曲線在點處的切線與x軸正向的夾角。
三、全微分
1、在點可微分的判定方法
若，則可判定在點可微分。其中2、全微分的計算方法
若在可微，則有
其中的求法可以結合復合函式或者隱函式求導。
例1（08年期末考試，一，1，4分） 設，則
例2（07，04年期末考試，二，1，3分）設求。
例3 （06年期末考試，
二、2，3分）設，則
例4 （03年期末考試，
二、2，3分）函式在點(1,0,1)處的全微分為
例5．設，，，求函式：對變數的全微分。
3、多元函式的全微分與連續，可偏導之間的關係（07年，04年，02年等）
一階偏導數在連續在可微在連續在有極限
在可微在的一階偏導數存在
在可微在的方向導數存在
四、多元復合函式求導法則
1、鏈式求導法則：變數樹狀圖法則
(1)(2)(3)2．一階全微分形式不變性：
設，則不管是自變數還是中間變數，都有
通過全微分求所有的一階偏導數，有時比鏈式求導法則顯得靈活。
當復合函式中復合的層次較多，結構較為複雜時，用一階全微分形式不變性求出一階偏導數或者全導數比較方便。
例1．設其中都可微，求。
五、隱函式的求導法則
1、，求
方法1（直接代公式）：，其中：，相當於把f看成自變數x，y的函式而對x求偏導數。
方法2：直接對方程兩邊同時關於x求偏導（記住）：
2．，求
方法1（直接代公式）：
方法2：直接對方程兩邊同時關於x（y）求偏導（記住）：
， 3．
建議採用直接推導法：即方程兩邊同時關於x求偏導，通過解關於未知數的二元方程組，得到。同理可求得。
例1．設，其中是由確定的隱函式，求。
例2．設有隱函式，其中f的偏導數連續，求。
例3．（04年期末考試，
三、1，8分）設可微，方程，其中確定了是的二元可微隱函式，試證明
六、多元函式微分學的幾何應用
1、空間曲線的切線與法平面方程（三種形式）——引數形式，兩柱面交線，兩曲面交線
切線向量
切線向量
切線向量
3、 曲面的切平面與法線方程（兩種形式）——隱函式，顯示函式
法線向量
法線向量，規定法向量的方向是向上的，即使得它與z軸的正向所成的角是銳角，在法向量的方向余弦為：
例1（08年期末考試，
一、2，4分）曲線在點(a,0,0)的切線方程
例2（08年期末考試，
十、7分）在曲面上求出切平面，使得切平面與平面平行。
例3（07年期末考試，
二、5，3分）曲面在點(1,2,0)處的法線方程。
例4（07年期末考試，
十、8分）在第一卦限內作橢圓的切平面，使該切平面與三個座標平面圍成的四面體的體積最小，求切點的座標。
例5（06年期末考試，
二、3，3分）曲面在點(0,a,-a)處的切平面方程。
例6（04年期末考試，
三、3，7分）在球面上求一點，使得過該點的切平面與已知平面平行。
例7. 在曲線，，上求點，使該點處曲線的切線平行平面。
例8設具有一階連續偏導數，且，對任意實數有，試證明曲面上任意一點處的法線與直線相垂直。
例9 由曲線繞y軸旋轉一周得到的旋轉面在點（0，）處指向外側的單位法向量，
七、方向導數與梯度
1、方向導數的概念和計算公式
在沿方向的方向導數為：
1 設為上一點，則
② 設的方向余弦為：，則
可微方向導數存在，但方向導數存在與偏導數存在之間沒有確定的關係
2、梯度的概念和計算公式
在沿什麼方向的方向導數最大？
沿梯度方向的方向導數最大，最大值為梯度的模
記住公式
考研高數 多元函式微分學
多元函式微分學 一 基本概念 1 二元函式連續 設函式在區域內有定義，且 若則稱函式在點連續 2 偏導數 設二元函式在點的某去心鄰域內有定義，則 3 全微分 若在點的全增量可表示為 則稱函式在點可微分 全微分為 注 若函式在點可微，則函式在點必定 反之，若函式在點 則函式在點不可微 若函式在點可微，...
習題詳解 第7章多元函式微分學
習題7 1 1.指出下列各點所在的座標軸 座標面或卦限 a 2，1,6 b 0，2，0 c 3，0,5 d 1，1，7 解 a在v卦限，b在y軸上，c在xoz平面上，d在viii卦限。2.已知點m 1，2，3 求點m關於座標原點 各座標軸及各座標面的對稱點的座標.解 設所求對稱點的座標為 x，y，z...
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