（三重積分、第一類曲線積分與第一類曲面積分、點函式的性質及其應用）
1、 三重積分的引入：
三重積分的概念是從求三維立體的質量而引入的，問題的關鍵點是同乙個立體的不同質點處的密度並不均勻，密度函式是乙個三元函式。（了解三重積分的**有助於真正的掌握它的應用哦）
問題的解決方法是經典的四部曲，分割，取近似，求和，取極限。
2、 三重積分的計算：
（1） 作圖,由於三重積分是體積的質量，自然我們要先將積質量的基準區域找出來，作圖的功力要大家慢慢練習好好體會了，蘇老師的複習小幫手上寫得很清楚了。
（2） 計算
三重積分主要有四種計算方法（平面座標系下的投影法及平面截割法、柱面座標系轉換、球面座標系轉換），接下來我們一一歸納之……
3、 第一類曲線積分概念的引入：
第一類曲線積分是一直曲線的線密度函式，來求解曲線的質量，當線密度函式恒為常數1時，積分的結果就是我們在微積分一當中遇到過的解曲線弧長的問題。關建是把曲線表示成引數方程，並且找出引數的區間即可化成t的一元函式定積分。
總結看來共有五種型別：設平面第一類曲線積分為
（1）若則
（2）若則
（3）若則
（4）若即則
(5)另外也可以表示為r的函式，但是這種方法不常用
以上各種轉化的目標是將積分最終轉化為一元函式的定積分，小心公示運用過程中的平方和開放
4、第一類曲面積分的引入：
第一類曲面積分是已知曲面的面密度函式，來求曲面的的質量
若曲面，則
若曲面則
這裡的各種轉化實質上是將將積分轉化為二重積分，所以在選擇變數的時候要注意好究竟在哪乙個座標平面上的積分更好積一些
兩個第一類積分都是的被積函式往往都是可以化簡的
5.點函式積分的基本性質
設在有界閉區域上都可積，有
性質1性質2 （k為常數）。
上面兩條性質稱為線性運算法則。
性質3 ，其中，且與無公共內點。
性質4 若，則
若，且連續，，則
性質5 若，，則
若，且連續，，則
性質6性質7 若在積分區域上的最大值為m，最小值為m，則
性質8（中值定理） 若在有界閉區域上連續，則至少有一點，使得稱為函式在上的平均值。（對於中值定理的理解就是求平均值的過程，在連續函式範圍內必有乙個函式的函式值可取到平均值）
6.對稱區域上點函式的積分
（1）設，或曲線或曲面或立體。
（i）若，且關於oxy平面對稱，則
（ii）若，且關於oyz平面對稱，則
（iii）若，且關於ozx平面對稱，則
簡單地說，若關於座標平面對稱，當關於垂直該平面座標軸的座標是奇函式時為0；是偶函式時，為平面一側區域積分的2倍。
若關於座標軸對稱，當關於垂直該軸的座標是奇函式則為0；是偶函式時，則為該軸一側區域積分的2倍。
同理可得，若關於z軸對稱，當時，積分為0；當時，積分為z軸一側區域上積分的2倍。若關於原點對稱，當時，積分為0；當時，積分為原點一側區域上積分的2倍
6.應用（求重心（質心、形心），求轉動慣量，求引力）
重心公式
設密度函式為連續，求空間形體的重心座標（是曲線、曲面或空間立體），設的重心座標為
同理是的重心。
特別常數時，其中m是的質量，是的大小。
當常數時，關於oxy平面對稱知，z關於z是奇函式，有，則同理，當常數時，關於ozx平面對稱，則當常數時，關於ozy平面對稱，則
同理，當（是曲線或平面區域），設密度函式連續，設重心座標為有當常數時，
多元函式積分學
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高等數學第九章多元函式極值典型問題
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