(a)1．填空題
(1)若在區域上的兩個混合偏導數則在上，。
(2)函式在點處可微的條件是在點處的偏導數存在。
(3)函式在點可微是在點處連續的條件。
2．求下列函式的定義域
(1)；(2)
3．求下列各極限
(1)； (2)； (3
4．設，求及。
5．求下列函式的偏導數
(1)；(2)；(3)。
6．設，，，求全導數。
7．設，，，，求。
8．曲線，在點(2,4,5)處的切線對於軸的傾角是多少？
9．求方程所確定的函式的偏導數。
10．設，求所有二階偏導數。
11．設是由方程確定的隱函式，求，。
12．設，求。
13．設是由方程確定的隱函式，求，，。
14．設，求全微分。
15．求函式在點的全微分。
16．利用全微分求的近似值。
17．求拋物面與拋物柱面的交線上的點處的切線方程和平面方程。
18．求曲面上點處的切平面方程和法線方程。
19．求曲線，，上點，使在該點處曲線的切線平行於平面。
20．求函式的極值。
21．求函式的極值。
22．要建造乙個容積為10立方公尺的無蓋長方體貯水池，底面材料單價每平方公尺20元，側面材料單價每平方公尺8元。問應如何設計尺寸，方便材料造價最省？
(b)1．求下列函式的定義域
(1)；(2)
2．(1)設，求，。
(2)設，求
3．求下列函式的極限
(1)；(2)
4．設，問是否存在？
5．討論函式的連續性，其中。
6．二元函式在點處：①連續，偏導數存在；②連續，偏導數不存在；③不連續，偏導數存在；④不連續，偏導數不存在。
7．設，求，。
8．設，求，。
9．設，求，。
10．設，可微，求。
11．設，求，。
12．設，求。
13．設可微，求全微分。
14．設是由方程所確定的隱函式，其中具有連續的偏導數，求，並由此求和。
15．求的偏導數。
16．設，求，。
17．設，求。
18．求函式在點處沿從點到點方向的方向導數。
19．求函式在點沿，，在此點的切線方向上的方向導數。
20．求函式在點處沿方向的方向導數。
21．判斷題：(簡單說明理由)
(1)就是在處沿軸的方向導數。
(2)若在處的偏導數，存在，則沿任一方向的方向導數均存在。
22．證明曲面上任意一點的切平面在座標軸上的截距的平方為常數。
23．證明：球面∑：上任意一點處的法線都經過球心。
24．求橢球面上的一點處的切平面與平面的交角。
25．設，都是，，的函式，，的各偏導數都存在且連續，證明：
26．問函式在處沿什麼方向的方向導最大，並求此方向導數的最大值。
27．求內接於橢球面的最大長方體的體積。
28．某公司通過報紙和電視傳媒做某種產品的**廣告，根據統計資料，銷售收入與報紙廣告費及電視廣告費(單位：萬元)之間的關係有如下經驗公式：，在限定廣告費為1.
5萬元的情況下，求相應的最優廣告策略。
29．求函式的階麥克勞林公式，並寫出餘項。
30．利用函式的2階泰勒公式，計算的近似值。
(c)1．證明。
2．設，其中在點，鄰域內連續，問(1)在什麼條件下，偏導數，存在；(2)在什麼條件下，在處可微。
3．設而為由方程所決定的函式，且是可微的，試求。
4．設由確定，求。
5．從方程組中求出，，，。
6．設，且，試確定常數，，使函式能滿足方程：。
7．證明：旋轉曲面上任一點處的法線與旋轉軸相交。
8．試證曲面()上任何點處的切平面在各座標軸上的截距之和等於。
9．拋物面被平面截成一橢圓，求原點到這橢圓的最長與最短距離。
10．設軸正向到方向的轉角為，求函式在點沿方向的方向導數，並分別確定轉角，使這導數有(1)最大值；(2)最小值；(3)等於0。
第八章多元函式微分法及其應用
(a)1．填空題
(1)若在區域上的兩個混合偏導數， 連續 ，則在上，。
(2)函式在點處可微的必要條件是在點處的偏導數存在。
yo (0,1) x
圖1(3)函式在點可微是在點處連續的充分條件。
2．求下列函式的定義域
(1)解：設定義域為，由
和，即，
得，如圖1所示
(2)解：設定義域為，由
，即，不同時為零，且，
即，得。
3．求下列各極限
(12)
解：原式解：原式
(3解：原式
4．設，求及
解： ，，
， 5．求下列函式的偏導數
(1)解： 類似地
(2)解： 同理可證得：
(3)解：
6．設，，，求全導數。
解：， ，
依復合函式求導法則，全導數為
7．設，，，，求。
解：8．曲線，在點(2,4,5)處的切線對於軸的傾角是多少？
解：，，故。
9．求方程所確定的函式的偏導數。
解：關於求導，得到
，即關於求導，有
，即。10．設，求所有二階偏導數。
解：先求一階偏導數，得
， 再求二階偏導數，得
，，，11．設是由方程確定的隱函式，求，。
解一：記，則
，，當時，便得，
解二：（提示）直接對方程兩邊求偏導數，並明確是、的函式，即可得，。
12．設，求。
解：令，則，，則
。13．設是由方程確定的隱函式，求，，。
解：方程兩邊對求偏導數，有
，即解得類似地，方程兩邊對求偏導數，解得
再求二階混合偏導數，得
把上述的結果代入，便得：
。14．設，求全微分。
解：由於，，所以全微分為
。15．求函式在點的全微分。
解：，所以。
16．利用全微分求的近似值。
解：設，則全微分
由近似關係，得
上式中取，，，，得
因此，所求近似值。
17．求拋物面與拋物柱面的交線上的點處的切線方程和平面方程。
解：交線方程，只要取作引數，得引數方程：
則有，，，於是交線在點處的切線向量為。
切線向量為
法平面方程為，即。
18．求曲面上點處的切平面方程和法線方程。
解：記，則
，， 於是曲面在點處的法線向量為
從而，切平面方程為，即，法線方程為。
19．求曲線，，上點，使在該點處曲線的切線平行於平面。
解：曲線在點處的切線方程為
又切線與平面平行，即切線的方向向量和平面的法向量垂直，應有，即，得
所以點的座標為。
20．求函式的極值。
解：解方程組，求得駐點，由於，，，，所以在點處，函式取得極大值，極大值為。
21．求函式的極值。
解：解方程組，得駐點。由於，，在點處，，，，，所以函式在點處取得極小值，極小值為。
22．要建造乙個容積為10立方公尺的無蓋長方體貯水池，底面材料單價每平方公尺20元，側面材料單價每平方公尺8元。問應如何設計尺寸，方便材料造價最省？
解：設水池的長為公尺，寬為公尺，高為公尺，則材料造價為
，(，，)，<*1>
且，，必須滿足
<*2>
從<*2>解出代入<*1>，得，(，)，於是問題就成為求當，時的最小值，由極值的必要條件，有
解此方程組得。
據題意存在最小造價，而，是唯一駐點，所以當，，時，水池的材料造最小。
(b)1．求下列函式的定義域
(1)解：設定義域。使有意義的區域為：，即，，使有意義的區域為：，即。
故定義域。如圖2
(2)解：設定義域為。由根式性質可知，必須，且，即或解得：
yy1.5
xx30
圖2。如圖3
2．(1)設，求，。
解：設，則得
由此從而
(2)設，求
解：.3．求下列函式的極限
(1)解：原式
(2)解：原式
4．設，問是否存在？
解：①取沿直線的途徑，當時，有
，②沿拋物線的途徑，當時，有
可見，沿兩條不同的途徑，函式的極限不同，故極限不存在。
5．討論函式的連續性，其中。
解：在處，
所以在處連續
若，則取路徑，則
因此，間斷點為直線，除以外的其他點。
6．二元函式在點處：①連續，偏導數存在；②連續，偏導數不存在；③不連續，偏導數存在；④不連續，偏導數不存在。
解：應選③
事實上，由於，隨的值不同而改變，所以極限不存在，因而在點處不連續，又，類似地，所以在處的偏導數存在。
7．設，求，。
解：令，，於是，得，。
8．設，求，。
解：，。
9．設，求，。
解：，。
10．設，可微，求。
解：，先求， ，，
所以。11．設，求，。
解：關於求導，而，得
即 (*)
得： 相仿地，可得。
12．設，求。
解：令，，
，於是在處。
13．設可微，求全微分。解：。
14．設是由方程所確定的隱函式，其中具有連續的偏導數，求，並由此求和。
解：方程兩邊求全微分，得
，即，即 ，當時，解出
由此得到，。
15．求的偏導數。
解：令，，則，是，的復合函式。
，，，，，
於是，，
16．設，求，。
解：所給方程組確定兩個一元隱函式：和，將所給方程的兩邊對求導，得
在的條件下
，。17．設，求。
解：， .
18．求函式在點處沿從點到點方向的方向導數。
解： ，,，。
因為所以。19．求函式在點沿，，在此點的切線方向上的方向導數。
解：因曲線過點，所以，，，，切線的方向余弦為，又，類似地，，，故。
20．求函式在點處沿方向的方向導數。
解：，，
， 由，曲面的外側法線向量為則。
第九章 多元函式微分法及其應用總結
多元函式的概念 對應規則 定義域 值域 圖形 二重極限的定義 與的區別 極限的計算 p61 p62 p63 6 x二元函式的連續性 二元函式在區域d連續 在有界閉區域上的連續函式的性質 有界性 有最值 介值性多元初等函式 多元初等函式在其定義域內是連續函式 多元函式的偏導數 在點處對，的偏導數，的定...
多元函式微分學及應用總結
函式在幾何形體上的積分 二 題型與解法 一 多元函式的基本概念 1 平面點集，平面點集的內點 外點 邊界點 聚點，多元函式的定義等概念 2 多元函式的極限 或 的定義 掌握判定多元函式極限不存在的方法 1 令沿趨向，若極限值與k有關，則可斷言函式極限不存在 2 找兩種不同趨近方式，若存在，但兩者不相...
習題詳解 第7章多元函式微分學
習題7 1 1.指出下列各點所在的座標軸 座標面或卦限 a 2，1,6 b 0，2，0 c 3，0,5 d 1，1，7 解 a在v卦限，b在y軸上，c在xoz平面上，d在viii卦限。2.已知點m 1，2，3 求點m關於座標原點 各座標軸及各座標面的對稱點的座標.解 設所求對稱點的座標為 x，y，z...