九年級數學(上)
一、中考要求：
1．經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展學生的推理論證能力．
2．進一步掌握綜合法的證明方法，能夠證明與平行四邊形、等腰梯形、矩形、菱形以及正方形等有關的性質定理及判定定理，並能夠證明其他相關的結論．
3．體會在證明過程中，所運用的歸納、轉化等數學思想方法．
二、中考卷研究
(一)中考對知識點的考查：
部分省市課標中考涉及的知識點如下表:
(二)中考熱點：
新課標對本章的要求不高，但比較簡單的幾何證明題仍是2023年中考的熱點
三、中考命題趨勢及複習對策
本章主要考查運用定義、定理證明問題的過程，在中考中以證明題的形式出現，一般佔5～7分，因此同學們在複習時應抓住問題的實質，分清條件和結論，有條理地寫出證明過程．
i)考點突破★★★
考點1：平行四邊形的判定
一、考點講解：
1．平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分、對邊平行．
2．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
3．等腰梯形同一底上的兩個角相等．
等腰梯形的兩條對角線相等．
同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形．
二、經典考題剖析：
【考題1－1】（2004、開福）
如圖，□abcd中，ae⊥bd，cf⊥bd，垂足分別為e、f。(1)寫出圖中每一對你認為全等的三角形；
(2)選擇(1)中的任意一對進行證明。
解：(1)△abe≌△cdf；△ade≌△cbf；△abd≌△cdb．
（2）如△abem△cdf．證明：因為四邊形abcd是平行四邊形，所以ab=cd，ab ∥cd．所以∠abe＝∠cdf．因為ae⊥bd，cf⊥bd，所以∠aeb＝∠cfd．所以△abe≌△cdf．
點撥：本題是開放型題，認真讀題，找出對應邊、對應角，不要有遺漏．
【考題1－2】（2004、鄲縣，7分）如圖1－3－2，梯形abcd中，ab∥cd，e是bc的中點，ae、dc的延長線相交於點 f，連線 ac、bf．（1）求證ab =cf，（2）四邊形abfc是什麼四邊形，並說明你的理由．
證明： （1）如圖1－3－3．因為ab∥dc，所以∠1=∠2．因為e是bc的中點，所以ce=be．又因為∠ cef=∠bea，所以△cef≌△bea，所以ab=cf，（2）四邊形abfc是平行四邊形．因為由（1）證明可知 a b、cf平行且相等，所以四邊形abfc是平行四邊形．
點撥：熟練掌握三角形全等的判定定理和平行四邊形的判定定理．
【考題1－3】（2004、重慶北碚，10分）如圖1－3－4，已知四邊形abcd是等腰梯形，ab=dc，ad∥bc，pb=pc．求證：pa=pd．
證明：因為四邊形abcd是等腰梯形，所以∠abc＝∠dcb．又因為pb＝pc，所以∠pbc＝∠pcb．所以∠pba＝∠pcd．在△pba和△pcd中，pb＝pc，∠pba＝∠pcd．ab＝dc，所以△pba≌△pcd，所以pa＝pd．點撥：本題主要考查等腰梯形的性質和全等三角形的判定定理，在解本題時同學們容易忽略由pb＝pc，得到∠pbc＝∠pcb．
三、針對性訓練：( 25分鐘) (答案：257 )
1．已知梯形的下底長是5cm，它的中位線長是4cm，則它的上底是（ ）
a．2．5cm b．3cm c．3．5cm d．4．5cm
2．如圖l－3－5，在梯形abcd中，ab∥cd，∠d＝2 ∠b，ad=a，cd=b，則ab等於（ ）
a.3．已知：如圖 l－3－6，e是□mabcd的對角線ac上的兩點，a e＝cf．
求證：（1）△abe≌△cdf；（2）be∥df．
4．已知：如圖l－3－7，梯形abcd中，ad∥bc，∠b＝∠c，點e是bc的中點，求證：ae=de．
5．如圖1－3－8，已知等腰梯形abcd，ad∥bc，e為梯形內一點，且 ea=ed，求證：eb=ec．
考點2：特殊平行四邊形
一、考點講解：
1．矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等；有三個角是直角的四邊形是矩形．
2．菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；四條邊相等的四邊形是菱形．
3．正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分；每一條對角線平分一組對角；有乙個角是直角的菱形是正方形；對角線相等的菱形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形．
二、經典考題剖析：
【考題2－1】（2004、貴陽，3分）如圖l－3－9，菱形 abcd的對角線的長分別為2和5，p是對角線ac上任意一點(點 p不與點a、c重合)且pe∥cd交ab於e，pf∥cd交ad於f，則陰影部分的面積是__．解：2．5
點撥：易證四邊形aepf為菱形．設ap與ef相交於點m，則△aem≌△pfm所以陰影部分的面積等於△abc的面積，又等於菱形abcd面積的一半．
【考題2－2】（2004、已知：在△abc中，ab=ac=a，m為底邊bc上任意一點，過點m分別作ab、ac的平行線交ac於p，交ab於q.
(1)求四邊形aqmp的周長；
(2)寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；
(3)m位於bc的什麼位置時，四邊形aqmp為菱形？
說明你的理由
解：⑴∵pm∥ab，qm∥ac
∴四邊形aqmp為平行四邊形
且∠1＝∠c，∠2＝∠b 又∵ab＝ac＝a
∴∠b＝∠c1＝∠b＝∠c＝∠2
∴qb＝qm，pm＝pc
∴四邊形aqmp的周長為：aq＋qm＋mp＋pa＝ap＋qb＋pc＋pa＝ab＋ac＝2a；
⑵△abc∽△qbm∽△pmc；（三對中寫出任意兩對即可）
⑶ 當m為底邊bc的中點時，四邊形aqmp為菱形.
當m為bc中點時 ∵pm∥ab. qm∥ac
∴pm ab＝ qmac＝
∴pm＝qm
由⑴知：四邊形aqmp為平行四邊形
∴四邊形aqmp為菱形
點撥：本題為綜合題，其中⑵題3對相似三角形，寫出任意2對即可.
三、針對性訓練：( 分鐘) (答案： )
1．如圖l－3－12，菱形abcd的一條對角線bd上一點o到菱形一邊ab的距離為2，那麼點o到另一邊bc的距離為
2．在梯形abcd中，ab∥cd，e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da邊上的中點，當梯形abcd滿足條件時，四邊形ewih是菱形．
3．如圖l－3－13，邊長為3的正方形abcd，繞點c按順時針方向旋轉30°後得到正方形efcg，ef交ad於點h，那麼dh的長為_______．
4．如圖l－3－14，矩形紙片abcd中，ab=6，e為ad邊上一點，將紙片沿be摺疊後，點a落在cd邊上的f點，若∠cbf＝∠ebf，則bc邊的長為（ ）
a． b．2 c．3 d． +1
5．已知：如圖1－3－l5，在矩形abcd中，點e、f在bc邊上，且be=cf，af、de交於點m，求證：am=dm。
6．已知：如圖1－3－l6，在菱形abcd中，e、f分別是b c、cd上的點，且ce=cf．
（1）求證：△abe≌△adf；
（2）過c作cg∥ea交a f於h，交a d於g，
若∠bae＝25 ○，
∠bcd＝130○，求∠ahc的度數．
★★★(ii)新課標中考題一網打盡★★★
【回顧1】（2005、紹興，12分）e、f為□abcd對角線db上的三等分點，連ae並延長交dc於p，鏈結pf並延長交ab於q，如圖1－3－17．
（1）在備用圖中，畫出滿足上述條件的圖形，記為圖⑵試用刻度尺在圖1－3－17⑴⑵中量得aq、bq的長度，估計aq、b q間的關係，並填入下表．
由上表可猜測aq、bq間的關係是
（2）上述問）中的猜測 aq，bq間的關係成立嗎？為什麼？)，其他條件不變，此時⑴中猜測aq、bq間的關係是否成立？（不必說明理由）
【回顧2】（2005、臨沂，9分）如圖1－3－18，已知正方形 abcd的對角線ac、bd相交於點o，e是ac上一點，鏈結eb．過a作am⊥be，垂足為m，am交bd於點f．（1）求證：oe=of；
（2）如圖1－3－19，若點e在 ac的延長線上，am⊥be於點m，交db的延長線於點f，其他條件不變，則結論「oe=of」還成立嗎？如果成立．請給出證明：如果不成立，請說明理由．
【回顧3】（2005、溫州，8分）如圖 1－3－20，四邊形abcd是平行四邊形，對角線 ac、bd交於點o，過點 o畫直線ef，分別交ad、bc於點e、f．求證：oe=of．
【回顧4】（2005、南充，3分）如圖1－3－21，點p是邊長為1的菱形abcd對角線ac上乙個動點h點m、n分別是ab、bc邊上的中點，mp + np的最小值是（ ）
a．2 b、1 c、 d、
★★★(iii)中考題**★★★
（90分 80分鐘） （258）
一、基礎經典題( 44分)
【備考1】如圖1－3－22，直角梯形abcd中，ad∥ bc，∠b＝90○ ，ad＋bc＜dc，若腰dc上有點 p，使 ap⊥bp，則這樣的點（ ）
a．不存在 b．只有乙個
c．只有兩個 d．有無數個
【備考2】如圖1－3－23，將△ade．繞正方形abcd
的頂點(a）順時針旋轉 90°，得δabf，鏈結 ef交ab 於h，則下列結論錯誤的是（ ）
a．ae⊥afb．ef：af=：1
c．af2 =fh·fe d．fb：fc＝hb：ec
【備考3】如圖1－3－24，順次鏈結四邊形abcd各邊中點得四邊形efgh，要使四邊形efgh為矩形，應新增的條件是（ ）
第三章證明 三
2.應用定理完成例題 例1.如圖，已知ad是 abc的角平分線，de ac交ab於e，df ab交ac於f。求證 四邊形aedf是菱形 當 abc滿足什麼條件時，四邊形aedf是正方形？例2.如圖，在平行四邊形abcd中，ac與bd相交於o點，點e f在ac上，且be df。求證 be df。教師在...
第三章證明 三
一 填空題 1.如圖，abcd，則abad，ad，若此時 b d 128 則 b 度，c 度.2.如果乙個平行四邊形的周長為80 cm，且相鄰兩邊之比為1 3，則長邊 cm，短邊 cm.3.如下左圖，abcd,c的平分線交ab於點e，交da延長線於點f，且ae 3 cm，eb 5 cm,則abcd的...
第三章證明試卷
a.15 b.18 c.30 d.60 4.兩條對角線相等的平行四邊形一定是 a.矩形 b.菱形 c.矩形或正方形 d.正方形 5.如圖3，在等腰梯形abcd中，ab cd，dc 3 cm，a 60 bd平分 abc，則這個梯形的周長是 a.21 cm b.18 cm c.15cm d.12 cm ...