第32講勾股定理
內容概述
1.勾股定理(畢達哥拉斯定理):直角三角形中的兩直角邊平方後的和等於斜邊的平方．
西元前500年古希臘的畢達哥拉斯發現了勾股定理後,曾宰牛百頭,廣設盛筵以示慶賀．
2. 西元前11世紀的《周髀算經》中提到:故折矩,以為句廣三,股修
四、徑修五．既方之.外半卿一矩,環而共盤.得成
三、四、五．
三國時期的趙爽註解道:句股各自乘,並之為弦實,開方除之,即弦.案:弦圖又可以句股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以句股之差自相乘為中黃實,加差之,亦成弦實．
漢朝張蒼、狄昌壽整理的《九章算術》第九卷為《句股》.其中解釋到:短麵曰句，長面曰股，相與結角曰弦.句短其股，股短其弦．
句股各自乘，並，而開方除之，即弦．
中國科學院數學與系統科學研究院的徽標(右圖所示)採用的就是趙爽
的弦圖.2023年在北京舉行的國際數學家大會的徽標也是弦圖．
如下,在弦圖中有
3. 伽菲爾德證法:美國第20任**伽菲爾德對數學有濃厚的興趣,在還是中學教師時曾給出一種勾股定理的證明方法：
梯形面積= (上底＋下底)×高
= (a+b)×(a+b)
= (a+b)2；
三個直角三角形的面積和=ab+ab+c2；
梯形面積=三個直角三角形面積和．
a+b)2=ab+ab+c2,所以a2+b2=c2.
4. 西元前3世紀的歐幾里得在《幾何原本》中給出一種證明,簡敘如下：
如圖,作出三個正方形,它們的邊長分別為直角三角形abc的三邊長.連線圖中的虛線段對應的點；過c作ck平行於af,交ab、fg分別於j、k點．
易證△afc≌△bae,有所以
；易證△cbg≌△hba，有所以
. 而．
即有ab2=ac2+cb2.
5. 勾股陣列:a=u2-v2,b=2uv,c=u2+v2如果a、6、c可以如此表達,那麼a、b、c稱之為勾股陣列,有a2+b2=c2．
如:u=2,v=l時a=3,b=4,c=5；u=7,v=6時a=13,b=84,c=85．
當然將已知的勾股陣列內每個數都同時擴大若干倍得到的新的一組數還是勾股陣列.
典型問題
2.智慧型機器貓從平面上的o點出發.按下列規律行走:
由o向東走12厘公尺到a1,由a1向北走24厘公尺到a2,由a2向西走36厘公尺到a3,由a3向南走48厘公尺到a4,由a4向東走60厘公尺到a5,…,問:智慧型機器貓到達a6點與o點的距離是多少厘公尺?
【分析與解】 如右圖所示,當智慧型機器貓到達a6點時,相對
o點,向東走了12-36+60=36厘公尺,向北走了24-48+72=48厘公尺．
有=362+482,即oa2=60．
所以,a6點到o點的距離為60厘公尺．
4.如圖32-3所示,直角三角形pqr的兩個直角邊分別為5厘公尺,9厘公尺問下圖中3個正方形面積之和比4個三角形面積之和大多少?
【分析與解】 如右圖,延長ar,dq,過e,f分別作ar,dq的平行線,在正方形efrq內交成四個全等的直角三角形和乙個小正方形ghmn，四個全等的直角三角形面積之和與四個白色的三角形面積之和相等．
小正方形hgnm的邊長為9-5=4厘公尺,所以面積為16平方厘公尺,而另
外兩個正方形abpr、cdqr他的面積分別為25,81．所以原圖中3個正方
形面積之和比4個三角形面積之和大25+8l+16=122平方厘公尺．
6.若把邊長為1的正方形abcd的四個角剪掉,得一四邊形a1blcldl,試問怎樣剪,才能使剩下的圖形仍為正方形,且剩下圖形的面積為原來正方形面積的,請說明理由.(寫出證明及計算過程)
【分析與解】如左圖所示,我們知道利用弦圖,可是弦圖怎麼利用?設構造出的弦圖中最小正方形的面積為x最大正方形面積為1,那麼有剩下的正方形面
積為(x+1)=,所以x=.
那麼,最小正方形的邊長為.由於是四角對稱的剪
去,所以有adl=dcl=cbl=ba1=,aal=bbl=ccl=ddl=
證明及計算過程略．
8.有5個長方形,它們的長和寬都是整數,且5個長和5個寬恰好是1～10這10個整數；現在用這5個長方形拼成1個大正方形,那麼,大正方形面積的最小值為多少?
【分析與解】 注意到,5個長、寬均不相等的長方形拼成乙個正方形,只有一種拼法.(如右圖所示，由弦圖聯想到)．
a、b、c、d中必有乙個長方形的一邊長為10,不妨設為a，
那麼顯然不能組成邊長為10的正方形；
如果能夠組成邊長為11的正方形,那麼有11=10+1=9+2=8+3=7+4=6+5,那麼大正方形的四邊必須是為11,則剩下的兩個數,它們的和為11,為中問陰影部分的長、寬和；
評注:如果能夠組成邊長為12的正方形,那麼有12=10+2=9+3=8+4=7+5,剩下1、6試填不滿足．
對於邊長為13的正方形,注意到13=10+3=9+4=8+5=7+6,剩下1、2,有見下圖情形,滿足．
10.園林小路,曲徑通幽.如圖32-7所示,小路由白色正方形石板和青、紅兩色的三角形石板鋪成.問：內圈三角形石板的總面積大,還是外圈三角形的總面積大?請說明理由．
【分析與解】如圖①,我們任意抽出兩塊相鄰的白色正方形石板,及它們所夾成的青、紅兩色的三角形石板，如圖②所示.圖中有∠cdb+∠adg=1800.
如果③,將△cde逆時針旋轉900,得△.有、、在同一條直線上,且△與△等底同高,所以有.
也就是說,任意兩塊相鄰的白色正方形石板,它們所夾成的青色三角形與紅色三角形面積相等．
注意到在原圖中,除了外圈青色的兩塊三角形外,外圈三角形、內圈三角形一一對應.所以原圖中,外圈三角形的面積大於內圈三角形的面積,如圖①所示．
勾股定理16種證明方法
勾股定理的證明 證法1 課本的證明 做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a b c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a b，所以面積相等.即 整理得 證法2 鄒元治證明 以a b 為直角邊，以c為斜邊做...
勾股定理16種證明方法
勾股定理的證明 證法1 課本的證明 做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a b c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a b，所以面積相等.即 整理得 證法2 鄒元治證明 以a b 為直角邊，以c為斜邊做...
勾股定理16種經典證明方法
勾股定理的證明 證法1 做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a b c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a b，所以面積相等.即 整理得 證法2 鄒元治證明 以a b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直...