【鞏固練習】
一、選擇題
1.命題「對於任意角，」的證明：
上面的證明過程應用了
a．分析法 b．綜合法 c．分析法與綜合法結合使用 d．間接證法
2．a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的（ ）
a．充分非必要條件 b．必要非充分條件
c．充要條件d．既非充分也非必要條件
3.用反證法證明命題：「若整係數一元二次方程有有理根，那麼、、中至少有乙個是偶數」時，下列假設正確的是 （ ）
a．假設、、都是偶數
b. 假設、、都不是偶數
c．假設、、中至多有乙個是偶數
d. 假設、、中至多有兩個是偶數
4．已知tan=2，則sin2+sincos－2cos=（ ）．
a． b． c． d．
5．設x、y、z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，則a、b、c三數( )
a．至少有乙個不大於2
b．都小於2
c．至少有乙個不小於2
d．都大於2
6．已知函式，若0＜x1＜x2＜1，則（ ）
a． b．
c． d．無法判斷與的大小
7．如果△a1b1c1的三個內角的余弦值分別等於△a2b2c2的三個內角的正弦值，則（ ）．
a．△a1b1c1和△a2b2c2都是銳角三角形
b．△a1b1c1和△a2b2c2都是鈍角三角形
c．△a1b1c1是鈍角三角形，△a2b2c2是銳角三角形
d．△a1b1c1是銳角三角形，△a2b2c2是鈍角三角形
二、填空題
8.要證明不等式成立，只需證明
9．α，β，γ是三個平面，a，b是兩條直線，有下列三個條件：
①a∥γ，bβ；②a∥γ，b∥β；③b∥β，aγ.
如果命題「α∩β＝a，bγ，且________，則a∥b」為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________．
10．函式的圖象恆過定點a，若點a 在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，則的最小值為________。
11．完成反證法證題的全過程．
已知：設a1，a2，…，a7是1，2，…，7的乙個排列，求證：乘積p=(a1－1)(a2－2)·…·(a7－7)為偶數．
證明：反設p為奇數，則________均為奇數．
因奇數個奇數之和為奇數，故有
奇數=________
=0．但奇數≠偶數，這一矛盾說明p為偶數．
三、解答題
12．在△abc中，三個內角a、b、c對應的邊分別為a、b、c，且a、b、c成等差數列，a、b、c成等比數列，求證：△abc為等邊三角形．
13.求證：在銳角三角形中，兩內角的正切之積大於1．
14．在△abc中，∠a、∠b、∠c的對邊分別為a、b、c，若a、b、c三邊的倒數成等差數列，求證：∠b <90°.
15.如圖，已知兩個正方形abcd和dcef不在同一平面內，m、n分別為ab、df的中點．
(1)若平面abcd⊥平面dcef，求直線mn與平面dcef所成角的正弦值；
(2)用反證法證明：直線me與bn是兩條異面直線．
【答案與解析】
1.【答案】b
【解析】這種由已知推向結論的方法，顯然為綜合法。
2．【答案】c
【解析】 當a=3時，直線，，顯然，故選c。
3.【答案】b
【解析】至少有乙個的否定：乙個都沒有
4．【答案】d
【解析】 方法1：∵tan=2，∴在第ⅰ或第ⅲ象限，而無論在第ⅰ或第ⅲ象限，sin與cos均同號，故不妨設在第ⅰ象限，然後利用直角三角形知識求解。
如圖所示，可得，，
則，故選d。
方法2：
，故選d。
5. 【答案】c
【解析】a＋b＋c＝x＋++ y＋+ z ≥ 6，因此a、b、c至少有乙個不小於2，故選c.
6．【答案】c
【解析】 畫出函式的圖象（如圖），根據及的幾何意義即oa、ob的斜率，以及0＜x1＜x2＜1，可得出答案為c。
7．【答案】d
【解析】 △a1b1c1的三個內角的余弦值均大於0，故△a1b1c1是銳角三角形。假設△a2b2c2是銳角三角形，由，得。
那麼，這與三角形的內角和為π相矛盾，所以假設不成立，所以△a2b2c2是鈍角三角形。故選d。
8. 【答案】
【解析】 常見的變形手段是平方，這樣可消去或減少根號。
9. 【答案】①或③
【解析】若填入①，則由a∥γ，bβ，bγ，b＝β∩γ，則a∥b.
若填入③，則由aγ，a＝α∩β，則a＝(α∩β∩γ)，又bγ，b∥β，則b∥a.
若填入②，不能推出a∥b，可以舉出反例，例如使β∥γ，bγ，aβ，則此時能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥b.或直接通過反例否定②.
10. 【答案】8
【解析】 由題意得a（―2，―1），點a在直線mx+ny+1=0上，則―2m―n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0。
∴。當且僅當，即當，時等號成立。故的最小值為8。
11．【答案】
a1―1，a2―2，…，a7―7 (a1―1)+(a2―2)+…+(a7―7) (a1+a2+…+a7)―(1+2+…+7)
【解析】典型的反證法證題思路。
12.【解析】
要證明三角形abc為正三角形，可證三條邊相等或三個角相等．
由a、b、c成等差數列，有2b＝a＋c
因為a、b、c為△abc的內角，
所以a＋b＋c
由①②得，b
由a、b、c成等比數列，有b2＝ac
由餘弦定理及③可得，
b2＝a2＋c2－2accosb＝a2＋c2－ac.
再由④得，a2＋c2－ac＝ac.
即(a－c)2＝0，因此a＝c.
從而有a＝c
由②③⑤得，a＝b＝c＝.
所以△abc為等邊三角形．
13. 【解析】
設銳角三角形的三內角為、、，依題意，即證.
要證上式成立，只需證明，
因為、都是銳角，所以、都大於零，
所以即證 ，
只需證成立，
即證成立，
因為也為銳角，所以為鈍角，所以成立
所以在銳角三角形中，兩內角的正切之積大於1．
14. 【解析】
假設∠b<90°不成立，即∠b≥90°，從而∠b是△abc的最大角，∴b是△abc的最大邊，即b>a，b>c.∴>，>.相加得＋>＋＝，與＋＝矛盾．故∠b≥90°不成立．故∠b<90°.
15. 【解析】
(1)取cd的中點g，鏈結mg、ng.
設正方形abcd、dcef的邊長為2，
則mg⊥cd，mg＝2，ng＝.
因為平面abcd⊥平面dcef，
所以mg⊥平面dcef.
可得∠mng是mn與平面dcef所成的角．
因為mn＝，所以sin∠mng＝為mn與平面dcef所成角的正弦值．
(2) 假設直線me與bn共面，則ab平面mben，且平面mben與平面dcef交於en.
由已知，兩正方形不共面，故ab平面dcef.
又ab∥cd，所以ab∥平面dcef.
而en為平面mben與平面dcef的交線，所以ab∥en.
又ab∥cd∥ef，所以en∥ef，這與en∩ef＝e矛盾，故假設不成立．所以me與bn不共面，它們是異面直線．
鞏固練習直接證明與間接證明 基礎 1212
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直接證明與間接證明
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