a級基礎演練(時間：30分鐘滿分：55分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．(2013·中山調研)設a，b∈r，則「a＋b＝1」是「4ab≤1」的
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
解析若「a＋b＝1」，則4ab＝4a(1－a)＝－42＋1≤1；若「4ab≤1」，取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即「a＋b＝1」不成立；則「a＋b＝1」是「4ab≤1」的充分不必要條件．
答案 a
2．(2013·金華十校聯考)對於平面α和共面的直線m，n，下列命題中真命題是
( )．
a．若m⊥α，m⊥n，則n∥α
b．若m∥α，n∥α，則m∥n
c．若mα，n∥α，則m∥n
d．若m，n與α所成的角相等，則m∥n
解析對於平面α和共面的直線m，n，真命題是「若mα，n∥α，則m∥n」．
答案 c
3．要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明
a．2ab－1－a2b2≤0b．a2＋b2－1－≤0
c.－1－a2b2≤0d．(a2－1)(b2－1)≥0
解析因為a2＋b2－1－a2b2≤0(a2－1)(b2－1)≥0，故選d.
答案 d
4．(2013·四平二模)設a，b是兩個實數，給出下列條件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：「a，b中至少有乙個大於1」的條件是
abcd．③④⑤
解析若a＝，b＝，則a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；
對於③，即a＋b>2，則a，b中至少有乙個大於1，
反證法：假設a≤1且b≤1，
則a＋b≤2，與a＋b>2矛盾，
因此假設不成立，a，b中至少有乙個大於1.
答案 c
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．用反證法證明命題「a，b∈n，ab可以被5整除，那麼a，b中至少有乙個能被5整除」，那麼假設的內容是
解析 「至少有n個」的否定是「最多有n－1個」，故應假設a，b中沒有乙個能被5整除．
答案 a，b中沒有乙個能被5整除
6．設a>b>0，m＝－，n＝，則m，n的大小關係是________．
解析取a＝2，b＝1，得m－<<＋a0，顯然成立．
答案 m
三、解答題(共25分)
7．(12分)若a，b，c是不全相等的正數，求證：
lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
證明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.
又a，b，c是不全相等的正數，
故上述三個不等式中等號不能同時成立．
∴··＞abc成立．
上式兩邊同時取常用對數，
得lg＞lg(abc)，
∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
8．(13分)(2013·鶴崗模擬)設數列是公比為q的等比數列，sn是它的前n項和．
(1)求證：數列不是等比數列；
(2)數列是等差數列嗎？為什麼？
(1)證明假設數列是等比數列，則s＝s1s3，
即a (1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
因為a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，這與公比q≠0矛盾，
所以數列不是等比數列．
(2)解當q＝1時，sn＝na1，故是等差數列；
當q≠1時，不是等差數列，否則2s2＝s1＋s3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，
得q＝0，這與公比q≠0矛盾．
b級能力突破
(時間：30分鐘滿分：45分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(2013·漳州一模)設a，b，c均為正實數，則三個數a＋，b＋，c＋( )．
a．都大於2b．都小於2
c．至少有乙個不大於2d．至少有乙個不小於2
解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋＋＝＋＋
≥6，當且僅當a＝b＝c時，「＝」成立，故三者不能都小於2，即至少有乙個不小於2.
答案 d
2．(2012·濱州期末)如果△a1b1c1的三個內角的余弦值分別等於△a2b2c2的三個內角的正弦值，則
a．△a1b1c1和△a2b2c2都是銳角三角形
b．△a1b1c1和△a2b2c2都是鈍角三角形
c．△a1b1c1是鈍角三角形，△a2b2c2是銳角三角形
d．△a1b1c1是銳角三角形，△a2b2c2是鈍角三角形
解析由條件知，△a1b1c1的三個內角的余弦值均大於0，則△a1b1c1是銳角三角形，假設△a2b2c2是銳角三角形．
不妨令得
那麼，a2＋b2＋c2＝，這與三角形內角和為π相矛盾．
所以假設不成立，所以△a2b2c2是鈍角三角形．
答案 d
二、填空題(每小題5分，共10分)
3．(2013·株洲模擬)已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，則使得a＋b≥μ恆成立的μ的取值範圍是________．
解析 ∵a，b∈(0，＋∞)且＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)＝10＋≥10＋2＝16，∴a＋b的最小值為16.
∴要使a＋b≥μ恆成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.
答案 (0,16]
4．(2012·金華一模改編)已知下表中的對數值有且只有乙個是錯誤的.
試將錯誤的對數值加以改正________．
解析由2a－b＝lg 3，得lg 9＝2lg 3＝2(2a－b)從而lg 3和lg 9正確，假設lg 5＝a＋c－1錯誤，則由
得所以lg 5＝1－lg 2＝a＋c.因此lg 5＝a＋c－1錯誤，正確結論是lg 5＝a＋c.
答案 lg 5＝a＋c
三、解答題(共25分)
5．(12分)已知f(x)＝x2＋ax＋b.
(1)求：f(1)＋f(3)－2f(2)；
(2)求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有乙個不小於.
(1)解 ∵f(1)＝a＋b＋1，f(2)＝2a＋b＋4，f(3)＝3a＋b＋9，
∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.
(2)證明假設|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小於.
則－∴－1<－2f(2)<1，－1∴－2這與f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾．
∴假設錯誤，即所證結論成立．
6．(13分)對於定義域為[0,1]的函式f(x)，如果同時滿足以下三條：
①對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函式f(x)為理想函式．
(1)若函式f(x)為理想函式，求f(0)的值；
(2)判斷函式g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否為理想函式，並予以證明．
解 (1)取x1＝x2＝0可得f(0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0，
又由條件①得f(0)≥0，故f(0)＝0.
(2)顯然g(x)＝2x－1在[0,1]上滿足條件①g(x)≥0；
也滿足條件②g(1)＝1.
若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，
則g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]
＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]
＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，
即滿足條件③，故g(x)是理想函式．
第2講直接證明與間接證明
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高考數學第2講直接證明與間接證明限時訓練新人教A版
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