時間：45分鐘分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．命題「對於任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ」的證明：「cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ」過程應用了( )
a．分析法
b．綜合法
c．綜合法、分析法綜合使用
d．間接證明法
解析：因為證明過程是「從左往右」，即由條件結論．
答案：b
2．要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明( )
a．2ab－1－a2b2≤0
b．a2＋b2－1－≤0
c.－1－a2b2≤0
d．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：因為a2＋b2－1－a2b2≤0(a2－1)(b2－1)≥0.
答案：d
3．用反證法證明某命題時，對結論：「自然數a，b，c中恰有乙個偶數」正確的反設為( )
a．a，b，c中至少有兩個偶數
b．a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數
c．a，b，c都是奇數
d．a，b，c都是偶數
解析：「恰有乙個偶數」的對立面是「沒有偶數或至少有兩個偶數」．
答案：b
4．設a，b，c是不全相等的正數，給出下列判斷：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b，a③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立．
其中正確判斷的個數為( )
a．0 b．1
c．2 d．3
解析：①②正確；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同時成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正確的判斷有2個．
答案：c
5．分析法又稱執果索因法，若用分析法證明：「設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證a．a－b>0 b．a－c>0
c．(a－b)(a－c)>0 d．(a－b)(a－c)<0
解析： 0(a－c)(2a＋c)>0(a－c)(a－b)>0.
答案：c
6．設函式f(x)是定義在r上的以3為週期的奇函式，若f(1)>1，f(2)＝，則a的取值範圍是( )
a．a< b．a《且a≠－1
c．a>或a<－1 d．－1解析：∵f(x)以3為週期，所以f(2)＝f(－1)，
又f(x)是r上的奇函式，
∴f(－1)＝－f(1)，則f(2)＝f(－1)＝－f(1)，
再由f(1)>1，可得f(2)<－1，
即<－1，解得－1答案：d
二、填空題(每小題5分，共15分)
7．設a＝＋2，b＝2＋，則a，b的大小關係為________．
解析：a＝＋2，b＝2＋兩式的兩邊分別平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，顯然， <.∴a答案：
a8．用反證法證明命題「若實數a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，則a，b，c，d中至少有乙個是非負數」時，第一步要假設結論的否定成立，那麼結論的否定是
解析：「至少有乙個」的否定是「乙個也沒有」，故結論的否定是「a，b，c，d中沒有乙個是非負數，即a，b，c，d全是負數」．
答案：a，b，c，d全是負數
9．已知點an(n，an)為函式y＝圖象上的點，bn(n，bn)為函式y＝x圖象上的點，其中n∈n*，設**＝an－bn，則**與**＋1的大小關係為________．
解析：由條件得**＝an－bn＝－n＝，∴**隨n的增大而減小．∴**＋1答案：**＋1
三、解答題(共55分，解答應寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程)
10．(15分)若a>b>c>d>0且a＋d＝b＋c，求證：＋<＋.
證明：要證＋<＋，只需證(＋)2<(＋)2，即a＋d＋211．(20分)已知函式y＝f(x)是r上的增函式．
(1)若a，b∈r且a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)寫出(1)中的命題的逆命題，判斷真假並證明你的結論．
解：(1)∵函式y＝f(x)是r上的增函式，
又∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)逆命題：若a、b∈r，f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.真命題．
證明如下：
假設a＋b<0，∵y＝f(x)是r上的增函式，
∴當a<－b時，f(a)當b<－a時，f(b)∴f(a)＋f(b)∴a＋b<0不成立．∴a＋b≥0.
12．(20分)設f(x)＝ex－1.當a>ln2－1且x>0時，證明：f(x)>x2－2ax.
證明：欲證f(x)>x2－2ax，即ex－1>x2－2ax，也就是ex－x2＋2ax－1>0.
可令u(x)＝ex－x2＋2ax－1，則u′(x)＝ex－2x＋2a.
令h(x)＝ex－2x＋2a，則h′(x)＝ex－2.
當x∈(－∞，ln2)時，h′(x)<0，函式h(x)在(－∞，ln2]上單調遞減，當x∈(ln2，＋∞)時，h′(x)>0，函式h(x)在[ln2，＋∞)上單調遞增．
所以h(x)的最小值為h(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a.
因為a>ln2－1，所以h(ln2)>2－2ln2＋2(ln2－1)＝0，即h(ln2)>0.
所以u′(x)＝h(x)>0，即u(x)在r上為增函式．
故u(x)在(0，＋∞)上為增函式．所以u(x)>u(0)．
而u(0)＝0，所以u(x)＝ex－x2＋2ax－1>0.
即當a>ln2－1且x>0時，f(x)>x2－2ax.
課時作業39直接證明與間接證明
時間 45分鐘分值 100分 一 選擇題 每小題5分，共30分 1 若x，y r，則下面四個式子中恆成立的是 a log2 1 2x2 0 b x2 y2 2 x y 1 c x2 3xy 2y2 d.解析 1 2x2 1，log2 1 2x2 0，故a不正確 x2 y2 2 x y 1 x 1 2...
直接證明與間接證明
教學過程 課堂匯入 已知，運用分析法和綜合法證明不等式成立。下面進入我們今天的學習！複習預習 1 綜合法從已知出發，以已知的定義 公理 定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止 2 分析法從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止 3 ...
直接證明與間接證明
1 直接證明 1 綜合法 定義 利用已知條件和某些數學定義 公理 定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法 框圖表示 其中p表示已知條件 已有的定義 公理 定理等，q表示要證明的結論 2 分析法 定義 從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後...