時間：45分鐘分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．若x，y∈r，則下面四個式子中恆成立的是( )
a．log2(1＋2x2)>0 b．x2＋y2≥2(x－y－1)
c．x2＋3xy≥2y2 d. <
解析：∵1＋2x2≥1，∴log2(1＋2x2)≥0，
故a不正確；
x2＋y2－2(x－y－1)＝(x－1)2＋(y＋1)2≥0，
故b正確；
令x＝0，y＝1，則x2＋3xy<2y2，故c不正確；
令x＝3，y＝2，則》，故d不正確．
答案：b
2．設a＝－，b＝－，c＝－，則a、b、c的大小順序是( )
a．a>b>c b．b>c>a
c．c>a>b d．a>c>b
解析：∵a＝－＝，
b＝－＝，
c＝－＝，
∴若比較a，b，c的大小，
只要比較＋，＋，＋的大小．
∵＋>＋>＋>0，
∴<<，
∴c答案：a
3．已知p＝2－，q＝()3，r＝()3，則p、q、r的大小關係是( )
a．pc．q解析：∵01,0∴p2－3.
∴r答案：b
4．設a>2，b>2，則( )
a．ab>a＋b
b．abc．存在a，b，使得ab＝a＋b
d. >1
解析： ab>2(a＋b)－4>a＋b.
答案：a
5．(2010·揭陽模擬)設a，b，u都是正實數，且a，b滿足＋＝1，則使得a＋b≥u恆成立的u的範圍是( )
a．(0,16] b．(0,12]
c．(0,10] d．(0,8]
解析：∵＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝1＋×9＋＋9≥10＋2·＝16.
當且僅當＝，即a＝4，b＝12時取等號．
若a＋b≥u恆成立，
∴0答案：a
6．設a、b、c∈r＋，則三個數a＋，b＋，c＋滿足( )
a．都不大於2 b．都不小於2
c．至少有乙個不大於2 d．至少有乙個不小於2
解析：若a＋<2，b＋<2，c＋<2同時成立，
相加得(a＋)＋(b＋)＋(c＋)<6.①
但∵a、b、c∈r＋，
∴a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2.
∵(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥6.②
∵①式與②式矛盾，
∴a＋，b＋，c＋至少有乙個不小於2，選d.
答案：d
二、填空題(每小題5分，共15分)
7．若x>1，則x與lnx的大小關係是________．
解析：令f(x)＝x－lnx，
則f′(x)＝1－＝.
∵x>1，∴ >0，
∴f(x)在(1，＋∞)上是增函式，
∴f(x)>f(1)＝1>0，
即x－lnx>0，∴x>lnx.
答案：x>lnx
8．lg9·lg11與1的大小關係是
解析：lg9·lg11<()2＝()2<()2＝1.
答案：lg9·lg11<1
9．凸函式的性質定理為：如果函式f(x)在區間d上是凸函式，則對於區間d內的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函式y＝sinx在區間(0，π)上是凸函式，則在△abc中，sina＋sinb＋sinc的最大值為________．
解析：∵f(x)＝sinx在區間(0，π)上是凸函式，且a、b、c∈(0，π)，
∴≤f()＝f()，
即sina＋sinb＋sinc≤3sin＝，
所以sina＋sinb＋sinc的最大值為.
答案：三、解答題(共55分)
10．(15分)已知a、b、c∈(0，＋∞)，且a、b、c成等比數列．
求證：a2＋b2＋c2>(a－b＋c)2.
證明：左邊－右邊＝2(ab＋bc－ac)．
∵a、b、c成等比數列，∴b2＝ac.∵a、b、c∈(0，＋∞)，
∴0∴a＋c>b.∴2(ab＋bc－ac)＝2(ab＋bc－b2)＝2b(a＋c－b)>0.∴a2＋b2＋c2>(a－b＋c)2.
11．(20分)(1)設x是正實數，
求證：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；
(2)若x∈r，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請舉出乙個使它不成立的x的值．
解：(1)x是正實數，由基本不等式知
x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2，
故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(當且僅當x＝1時等號成立)．
(2)若x∈r，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．
由(1)知，當x>0時，不等式成立；
當x≤0時，8x3≤0，
而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)
＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0，
此時不等式仍然成立．
——**提公升——
12．(20分)已知二次函式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)＝0，且00.
(1)證明：是f(x)＝0的乙個根；
(2)試比較與c的大小；
(3)證明：－2解：(1)∵f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點，
∴f(x)＝0有兩個不等實根x1，x2，
∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，
又x1x2＝，∴x2＝(≠c)，
∴是f(x)＝0的乙個根．
(2)假設0，
知f()>0與f()＝0矛盾，∴ >c.
(3)由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，
∴b＝－1－ac.
又a>0，c>0，∴b<－1.
二次函式f(x)的圖象的對稱軸方程為
x＝－＝<＝x2＝，
即－<.
又a>0，∴b>－2，∴－2 時間 45分鐘分值 100分 一 選擇題 每小題5分，共30分 1 命題 對於任意角 cos4 sin4 cos2 的證明 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 過程應用了 a 分析法 b 綜合法 c 綜合法 分析法綜合使用 d 間接證明法 解析 ... 教學過程 課堂匯入 已知，運用分析法和綜合法證明不等式成立。下面進入我們今天的學習！複習預習 1 綜合法從已知出發，以已知的定義 公理 定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止 2 分析法從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止 3 ... 1 直接證明 1 綜合法 定義 利用已知條件和某些數學定義 公理 定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法 框圖表示 其中p表示已知條件 已有的定義 公理 定理等，q表示要證明的結論 2 分析法 定義 從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後...課時作業39直接證明與間接證明
直接證明與間接證明
直接證明與間接證明