【題組訓練】
1、（2009元調）在邊長為4的正方形abcd中，以ad為直徑作⊙o，以c為圓心，以cd長為半徑作⊙c，兩圓交於正方形內一點e，連線ce並延長交ab於f。
（1）求證：cf與⊙o相切；
（2）求△bcf和直角梯形adcf的周長之比；
解析：連線oe、oc
（1） ∵od=oe=2，cd=ce=4
∴△odc≌△oec（sss） ，則∠oec=∠oec=90°
（2）設af=，則bf=
∵ef=af= ∴ef=
在rt△fbc中， ，解得，故af=1，bf=3，cf=5
，，△bcf和直角梯形adcf的周長之比為：
2、（2010元調）如圖d為rt△abc斜邊ab上一點，以cd為直徑的圓分別交△abc三邊於e，f，g三點，連線fe，fg。
（1）求證：∠efg＝∠b；
（2）若ac＝2bc＝，d為ae的中點，求cd的長；
解析：（1）連線fd、eg
∵∠fcg=90°，∴fg為直徑，∠feg=90°
∴∠efg＝90°∠fge，由題知
∠cfd=90° ，∴fd∥ca，則∠a=∠fde=∠fge
而∠b=90°∠a=90°∠fge，故∠efg＝∠b
（可以更簡單）
（2）連線ce，則∠ced=90°
由題知：ac＝，bc=，那麼ab=
∵ ∴ce=
在rt△cea中，
∵d為ae的中點，∴de=4
在rt△ced中，
3、（2012元調）小雅同學在學習圓的基本性質時發現了乙個結論：如圖，⊙o中，om⊥弦ab於點m，on⊥弦cd於點n，若om=on，則ab=cd。
(1)請幫小雅證明這個結論；
(2)運用以上結論解決問題：在rt△abc中，∠abc=90°，o為△ abc的內心，以o為圓心，ob為半徑的o d與△abc三邊分別相交於點d、e、f、g。若ad=9，cf=2，求△ abc的周長。
解析：（1）∵om=on，oa=oc，om⊥ab，on⊥cd
∴△amo≌△cno（sss），故am=cn
∵ab=2am，cd=2cn，∴ab=cd
（2）連線ao，過o作ab、ac的垂線，垂足分別為i、h
∵io=ho，oa=oa， ∴△aio≌△aho（hl）
則ai=ah，由（1）知，bd=gf=be，∴di=gh
故 ad=ag=9，同理cf=ce=2
設bd=be=gf=，則ab=，bc=，ac=
在rt△cea中，，解得
∴△ abc的周長=15+8+17=40
4、（2012四調）如圖，ab，bc，cd分別與⊙o相切於點e，f，g，且ab∥cd。ob與ef相交於點m，oc與fg相交於點n，連線mn。
（1）求證：ob⊥oc；
（2）若ob＝6，oc＝8，求mn的長；
解析：（1）∵ab，bc是⊙o的切線，∴bo為∠abc平分線
同理co為∠bcd平分線
∵ab∥cd，∴∠abc+∠bcd=180°
故∠obc+∠ocb=90°，即ob⊥oc
（2）∵be=bf，bo為∠abc平分線，∴ob⊥ef，同理 oc⊥fg
故四邊形omfn為矩形，∴mn=of
∵ob＝6，oc＝8，∴bc=10 ，由題知 of⊥bc
∴ of=
故mn=
5、（2013河北）如圖，△oab中，oa = ob = 10，∠aob = 80°，以點o為圓心，6為半徑的優弧分別交oa，ob於點m，n。
（1）點p在右半弧上（∠bop是銳角），將op繞點o逆時針旋轉80°得op′。求證：ap = bp′；
（2）點t在左半弧上，若at與弧相切，求點t到oa的距離；
（3）設點q在優弧上，當△aoq的面積最大時，直接寫出∠boq的度數。
解析：（1）略，基本全等證明
（2）面積法 oa=10，ot=om=6，所以at=8
，tc=
（3）當時，△aoq的面積最大
∠boq為10° 或 170°
6、（2013溫州）如圖，ab為⊙o的直徑，點c在⊙o上，延長bc至點d，使dc=cb，延長da與⊙o的另乙個交點為e，鏈結ac，ce。
（1）求證：∠b=∠d；
（2）若ab=4，bc-ac=2，求ce的長。
解析：（1）∵ab為⊙o的直徑，∴∠acb=90°
又∵dc=cb，則ad=ab，∴∠b=∠d
（2）∵∠b=∠aec=∠d
∴ce=cd=bc
設bc=，則ac=，
在rt△acb中，
解得7、（13-14二中、七一期中）如圖，ab是⊙o的直徑，點d是⊙o上一點，點c在bd的延長線上，過點c作直線交⊙o於e、f二點，連線be、de，
（1）求證：；
（2）連線oe，oe∥bc，若ed=15，ef=24，求⊙o的半徑；
解析： （1）連線ad
∵ab是⊙o的直徑，∠cdi=90°
∵∠bed=∠bad=∠c，∠aih=∠cid
∴∠ahi=∠cdi=90°
（2）連線oe、ae，過e作bc的垂線，垂足為g
∵oe∥bc，∴∠oeb=∠ebg，又∵∠oeb=∠obe
∴be為∠gbh的平分線，eg=eh==12，∵ed=15
∴dg=9 易證：△egd≌△eha（aas） 故ah=dg=9
設⊙o的半徑為，則oh=
在rt△eho中，，解得
8、（13-14武昌七校期中）如圖，ac為⊙o的直徑，ac=4，b、d分別在ac兩側的圓上，，bd與ac的交點為e。
（1）求的度數；
（2）若de=2be，求cd的長；
解析： （1）連線od
∵∠bad=60°
∴∠bod=120°，od=ob， ∴ ∠obd=∠odb =30°
（2）過o點作bd的垂線，垂足為f，設be=，de=
則bd=，df=
∵∠odb =30°，∴of=1，在rt△dof中，，解得
在rt△ofe中，，則be=oe，∴∠eob=30°，∠doc =90°
故 cd=
9、（13-14青山期中）如圖，ab為⊙o的直徑，am和bn是⊙o的兩條切線，d是am上一點，e是⊙o上一點，連線de並延長交bn於點c。
（1）若od∥be，求證：de是⊙o的切線；
（2）在（1）的條件下，連線oc交⊙o於點f，連線af，ab=，當af∥cd時，求ad的長；
解析： （1）由題知∠doe=∠oeb∵∠oeb=∠obe，
∴∠doe=∠obe，∠obe=∠aoe，故∠doe=∠aoe
∴∠aod=∠eod，易證△aod≌△eod（sas），故
（2）連線bf、ef，∵，af∥cd，∴
∵，∴oe∥bf，由oc為∠boe平分線
∴，bg=ge，易證△oge≌△fgb（aas），∴og=gf
故四邊形obfe為菱形，ob=of=bf，∴∠bof=60°，又bf=ef，∴∠foe=60°
故∠aoe=60°，∠aod=30°，od=2ad，故ad=2
10、（13-14六中期中）ab為⊙o的直徑，ae平分，交⊙o於點e，過點e作直線，
交af的延長線於點d，交ab的延長線於點c。
（1）求證：cd是⊙o的切線；
（2）若cb=2，ce=4，①求⊙o的半徑；②求df的長；
解析： （1）連線oe，∵ae平分，∴∠oae=∠fae
又∵∠oae=∠oea，∴∠oea=∠fae
故oe∥af，又∵，所以
∴cd是⊙o的切線；
(2)連線ef、be，過e作ac的垂線，垂足為g
設oe=ob=，在rt△oce中，，解得，即⊙o的半徑為3
∵，∴，在rt△cge中，，解得
所以，易證△edf≌△egb（hl），故df=bg=
11、（13-14漢陽期中）如圖，已知rt△abc內接於⊙o，ac是⊙o的直徑，d是的中點，過點d作bc的垂線，分別交cb、ca的延長線於點e、f。
（1）求證：ef是⊙o的切線；
（2）若ab=8，bc=6，求cd的長；
解析： （1）連線od，d是的中點，
∴∠bcd=∠acd，又∵∠acd=∠cdo，∴∠bcd=∠cdo
故oe∥af，又∵，所以，即ef是⊙o的切線；
（2）連線bd、ad，過d作ac的垂線，垂足為g
則ce=cg，易證△deb≌△dga（hl），故be=ag
設be=ag=，則，解得
此處需用到相似（射影定理），故dg=4，又cg=10-2=8
所以12、（13-14礄口期中）如圖，△abc內接於⊙o，cd平分△abc的外角，交⊙o於點d，連線ad、bd。
（1）求證：ad=bd；
（2）連線do，並延長交bc於點e
①求證：；②若ab=6，ad=，c為的中點，求oe的長。
解析： （1）由題知∠mcd=∠dcb
∵∠dcb=∠dab，∠mcd=∠dba
∴∠dab=∠dba，故ad=bd
（2）①連線oa、ob，易證△doa≌△dob（sss），故
②延長de交ab於f，過e作bc的垂線，垂足為g
顯然，af=3，ad=，則cf=9，設圓o半徑為
在rt△aof中，，解得
∵c為的中點，所以be為∠abd平分線，ef=eg
設oe=a，那麼eg=ef=，對於△edb的面積有：
即，解得，即oe=
13、如圖，，ce為的角平分線，o為射線ce上的一點，⊙o切ac於點d。
（1）求證：bc與⊙o相切；
（2）若⊙o的半徑為6，p為⊙o上一點，且使得，求dp的長；
略14、如圖，已知直線pa交⊙o於a、b二點、ae是⊙o的直徑，點c為⊙o上一點，且ac平分，過點c作，垂足為d。
（1）求證：cd為⊙o的切線；
（2）若dc+da=6，⊙o的直徑為10，求ab的長；略
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武漢元調數學第22題圓計算證明 答案
題組訓練 1 2009元調 在邊長為4的正方形abcd中，以ad為直徑作 o，以c為圓心，以cd長為半徑作 c，兩圓交於正方形內一點e，連線ce並延長交ab於f。1 求證 cf與 o相切 2 求 bcf和直角梯形adcf的周長之比 解析 連線oe oc 1 od oe 2，cd ce 4 odc o...
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