在數學領域裡，不等式知識占有廣闊的天地，而乙個個的重要不等式又把這片天地裝點得更加豐富多彩．下面擇要介紹一些著名的不等式．
一、平均不等式（均值不等式）
設 ， ，…， 是個實數，
叫做這個實數的算術平均數。當這個實數非負時，
叫做這個非負數的幾何平均數。當這個實數均為正數時，
叫做這個正數的調和平均數。
設 ， ，…， 為個正數時，對如下的平均不等式：
，當且僅當時等號成立。
平均不等式是乙個重要的不等式，它的應用非常廣泛，如求某些函式的最大值和最小值即是其應用之一。
設 ， ，…， 是個正的變數，則
（1）當積是定值時，和有最小值，且
；（2）當和是定值時，積有最大值，且
兩者都是當且僅當個變數彼此相等時，即時，才能取得最大值或最小值。
在中，當時，分別有
，平均不等式經常用到的幾個特例是（下面出現的時等號成立；
（3） ，當且僅當時等號成立；
（4） ，當且僅當時等號成立。
二、柯西不等式（柯西—許瓦茲不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）
對任意兩組實數有
，其中等號當且僅當時成立。
柯西不等式經常用到的幾個特例（下面出現的都表示實數）是：
（1） ， ，則
（2）（3）柯西不等式是又乙個重要不等式，有許多應用和推廣，與柯西不等式有關的競賽題也頻頻出現，這充分顯示了它的獨特地位。
三、閔可夫斯基不等式
設是兩組正數， ，則
（ ）（ ）當且僅當時等號成立。
閔可夫斯基不等式是用某種長度度量下的三角形不等式，當時得平面上的三角形不等式：
右圖給出了對上式的乙個直觀理解。
若記 ， ，則上式為
四、貝努利不等式
（1）設 ，且同號，則
（2）設 ，則
（ⅰ）當時，有 ；
（ⅱ）當或時，有 ，上兩式當且僅當時等號成立。
不等式（1）的乙個重要特例是
（ ）五、赫爾德不等式
已知 （ ）是個正實數， ，則
上式中若令 ， ， ，則此赫爾德不等式即為柯西不等式。
六、契比雪夫不等式
（1）若 ，則
；（2）若 ，則
下面給出乙個時的契比雪夫不等式的直觀理解。
如圖，矩形opaq中， ， ，顯然陰影部分的矩形的面積之和不小於空白部分的矩形的面積之和，（這可沿圖中線段mn向上翻摺比較即知）。於是有
，也即七、排序不等式
設有兩組數滿足 ，則有
，式中的 ， ，…， 是1，2，…， 的任意乙個排列，式中的等號當且僅當或時成立。
以上排序不等式也可簡記為：
反序和亂序和同序和
這個不等式在不等式證明中占有重要地位，它使不少困難問題迎刃而解。
八、含有絕對值的不等式
為複數，則
，左邊的等號僅當的幅角差為時成立，右邊的等號僅當的幅角相等時成立，這個不等式也稱為三角形不等式，其一般形式是
，也可記為
絕對值不等式在實數的條件下用得較多。
九、琴生不等式
設是（ ）內的凸函式，則對於（ ）內任意的幾個實數有
，等號當且僅當時取得。
琴生不等式是丹麥數學家琴生於2023年到2023年間建立的。利用琴生不等式我們可以得到一系列不等式，比如「冪平均不等式」，「加權的琴生不等式」等等。
十、艾爾多斯—莫迪爾不等式
設p為內部或邊界上一點，p到三邊距離分別為pd，pe，pf，則
，當且僅當為正三角形，且p為三角形中心時上式取等號。
這是用於幾何問題的證明和求最大（小）值時的乙個重要不等式。
以上這些著名不等式是數學家們長期致力於不等式理論研究的重要成果，如果它們已變成了我們學習數學、研究數學、應用數學的得力工具。
不等式的證明及著名不等式
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著名不等式公式 供知識拓展
三角形內角的嵌入不等式 三角形內角的嵌入不等式，在不至於引起歧義的情況下簡稱嵌入不等式。該不等式指出，若a b c是乙個三角形的三個內角，則對任意實數 x y z，有 算術 幾何平均值不等式 在數學中，算術 幾何平均值不等式是乙個常見而基本的不等式，表現了兩類平均數 算術平均數和幾何平均數之間恆定的...
不等式與不等式組
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