三角形內角的嵌入不等式
三角形內角的嵌入不等式，在不至於引起歧義的情況下簡稱嵌入不等式。該不等式指出，若a、b、c是乙個三角形的三個內角，則對任意實數 x、y、z，有：
算術-幾何平均值不等式
在數學中，算術-幾何平均值不等式是乙個常見而基本的不等式，表現了兩類平均數：算術平均數和幾何平均數之間恆定的不等關係。設為 n 個正實數，它們的算術平均數是，它們的幾何平均數是 。
算術-幾何平均值不等式表明，對任意的正實數，總有：
等號成立當且僅當 。
算術-幾何平均值不等式僅適用於正實數，是對數函式之凹性的體現，在數學、自然科學、工程科學以及經濟學等其它學科都有應用。
算術-幾何平均值不等式經常被簡稱為平均值不等式（或均值不等式），儘管後者是一組包括它的不等式的合稱。
例子在 n = 4 的情況，設: ， 那麼
.可見。
歷史上的證明
歷史上，算術-幾何平均值不等式擁有眾多證明。n = 2的情況很早就為人所知，但對於一般的 n，不等式並不容易證明。2023年，英國數學家麥克勞林最早給出了一般情況的證明，用的是調整法，然而這個證明並不嚴謹，是錯誤的。
柯西的證明
2023年，法國數學家柯西在他的著作《分析教程》中給出了乙個使用逆向歸納法的證明[1]：
命題pn：對任意的 n 個正實數，
1. 當 n=2 時，p2 顯然成立。
2. 假設 pn 成立，那麼 p2n 成立。證明：對於2n 個正實數，
3. 假設pn成立，那麼pn 1成立。證明：對於n - 1 個正實數，設，，那麼由於pn成立， 。
但是 ， ，因此上式正好變成
綜合以上三點，就可以得到結論：對任意的自然數 ，命題 pn 都成立。這是因為由前兩條可以得到：
對任意的自然數 k，命題都成立。因此對任意的 ，可以先找 k 使得 ，再結合第三條就可以得到命題 pn 成立了。
歸納法的證明
使用常規數學歸納法的證明則有喬治·克里斯托（george chrystal）在其著作《代數論》（algebra）的第二卷中給出的[2]：
由對稱性不妨設 xn + 1 是中最大的，由於 ，設 ，則 ，並且有 。
根據二項式定理，
於是完成了從 n 到 n + 1 的證明。
此外還有更簡潔的歸納法證明[3]：
在 n 的情況下有不等式和成立，於是：
所以 ，從而有。
基於琴生不等式的證明
注意到幾何平均數實際上等於 ，因此算術-幾何平均不等式等價於：
。由於對數函式是乙個凹函式，由琴生不等式可知上式成立。
此外還有基於排序不等式、伯努利不等式或借助調整法、輔助函式求導和加強命題的證明。
推廣算術-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。
加權算術-幾何平均不等式
不僅「均勻」的算術平均數和幾何平均數之間有不等式，加權的算術平均數和幾何平均數之間也有不等式。設和為正實數，並且 ，那麼：
。加權算術-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。
矩陣形式
算術-幾何平均不等式可以看成是一維向量的係數的平均數不等式。對於二維的矩陣，一樣有類似的不等式： 對於係數都是正實數的矩陣
設 ，，那麼有：
也就是說：對 k 個縱列取算術平均數，它們的幾何平均大於等於對 n 個橫行取的 n 個幾何平均數的算術平均。
極限形式
也稱為積分形式：對任意在區間[0,1]上可積的正值函式 f，都有
這實際上是在算術-幾何平均值不等式取成後，將兩邊的黎曼和中的 n 趨於無窮大後得到的形式。
伯努利不等式
數學中的伯努利不等式是說：對任意整數，和任意實數，
；如果是偶數，則不等式對任意實數x成立。
可以看到在n = 0,1，或x = 0時等號成立，而對任意正整數和任意實數，，有嚴格不等式：
。伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。
[編輯] 證明和推廣
伯努利不等式可以用數學歸納法證明：當n = 0,1，不等式明顯成立。假設不等式對正整數n，實數時成立，那麼
。下面是推廣到實數冪的版本：如果x > 1，那麼：
若或，有；
若，有。
這不等式可以用導數比較來證明：
當r = 0,1時，等式顯然成立。
在上定義f(x) = (1 + x)r (1 + rx)，其中， 對x微分得f'(x) = r(1 + x)r 1 r， 則f'(x) = 0當且僅當x = 0。分情況討論：
1 0 < r < 1，則對x > 0，f'(x) < 0；對 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0時取最大值0，故得。
2 r < 0或r > 1，則對x > 0，f'(x) > 0；對 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0時取最小值0，故得。
在這兩種情況，等號成立當且僅當x = 0。
[編輯] 相關不等式
下述不等式從另一邊估計(1 + x)r：對任意x, r > 0，都有
。佩多不等式
幾何學的佩多不等式，是關連兩個三角形的不等式，以唐·佩多(don pedoe)命名。這不等式指出：如果第乙個三角形的邊長為a,b,c，面積為f，第二個三角形的邊長為a,b,c，面積為f，那麼：
，等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形，對應邊成比例；
也就是a / a = b / b = c / c。
[編輯] 證明
由海**式，兩個三角形的面積可用邊長表示為
16f2 = (a + b + c)(a + b c)(a b + c)(b + c a) = (a2 + b2 + c2)2 2(a4 + b4 + c4)
16f2 = (a + b + c)(a + b c)(a b + c)(b + c a) = (a2 + b2 + c2)2 2(a4 + b4 + c4),
再由柯西不等式，
16ff + 2a2a2 + 2b2b2 + 2c2c2
= (a2 + b2 + c2)(a2 + b2 + c2)
於是，= a2(b2 + c2 a2) + b2(a2 + c2 b2) + c2(a2 + b2 c2) ，命題得證。
等號成立當且僅當,也就是說兩個三角形相似。
abc是第乙個三角形，a'b'c'是取相似後的第二個三角形，bc與b'c'重合
幾何證法
三角形的面積與邊長的平方成正比，因此在要證的式子兩邊同乘乙個係數λ2，使得λa = a，幾何意義是將第二個三角形取相似（如右圖）。
設這時a、b、c變成x、y、z，f變成f'。
考慮 aa' 的長度。由余弦公式，
將,代入就變成：
兩邊化簡後同時乘以，並注意到a=x，就可得到原不等式。
等號成立當且僅當a與a'重合，即兩個三角形相似。
內斯位元不等式
內斯位元不等式是數學的一條不等式，它說對任何正實數a，b，c，都有：
[編輯] 證明
此不等式證明方法很多，例如從平均數不等式我們有：
，移項得出：
，整理左式：，。
因而不等式得證。
埃爾德什－莫德爾不等式
如圖，埃爾德什-莫德爾不等式說明點o到三個頂點的距離之和（綠色線段）大於到三邊距離之和（藍色線段）的兩倍
在幾何學中，埃爾德什-莫德爾不等式是乙個二十世紀初期發現的不等式。埃爾德什-莫德爾不等式說明了：對於任何三角形abc和其內部的一點o，點o到三角形三條邊的距離之和總是小於或等於點o到三角形的三個頂點的距離之和的一半。
埃爾德什-莫德爾不等式可以認為是幾何學中的尤拉定理的乙個推廣。尤拉定理聲稱三角形外接圓的半徑總是大於等於內切圓半徑的兩倍。
[編輯] 歷史
該不等式最早由埃爾德什在2023年在《美國數學月刊》上提出，作為第3740號問題。兩年之後，由路易斯·莫德爾和巴羅證明。2023年，卡扎里諾夫提出了乙個更簡捷的證明[1]。
之後不斷有更簡潔、更基本的證明出現。2023年班考夫（bankoff）給出了運用正交投影和相似三角形的證明，2023年和2023年出現了使用面積不等式的證明，2023年和2023年發現了根據托勒密定理的證明。
[編輯] 證明
如右圖，o為三角形abc中的乙個點。o到三角形三邊的垂線分別交三條邊於d、e、f。設線段oa、ob、oc的長度分別是x、y、z，線段od、oe、of的長度分別是p、q、r，那麼埃爾德什-莫德爾不等式為：
乙個初等的證明方式是使用三角函式以及均值不等式。
首先，由於of垂直於af，oe垂直於ae，a、f、o、e四點共圓且oa為直徑，因此線段（角a為頂點a對應的內角）。
過點f、e作關於bc的垂線交bc於x、y。過o作bc的平行線分別交fx、ey於u、v。由於of垂直於af，oe垂直於ae，，。於是：
另一方面，注意到在直角梯形中fuve中，斜腰ef的長度大於等於直角腰uv。因此：
類似地，還有：
，三式相加，得到：
根據均值不等式，，等等，於是最終得到：
這就是埃爾德什-莫德爾不等式。
外森比克不等式
設三角形的邊長為a,b,c，面積為a，則外森比克不等式（weitzenbck's inequality）成立。當且僅當三角形為等邊三角形，等號成立。佩多不等式是外森比克不等式的推廣。
[編輯] 證明一
除了「所有平方數非負」以外，這個證明不用到其它任何不等式。
兩邊取平方根，即得證。
舒爾不等式
舒爾不等式說明，對於所有的非負實數x、y、z和正數t，都有：
當且僅當x = y = z，或其中兩個數相等而另外乙個為零時，等號「=」成立。當t是正的偶數時，不等式對所有的實數x、y和z都成立。
[編輯] 證明
由於不等式是對稱的，我們不妨設。則不等式
顯然成立，這是因為左邊的每一項都是非負的。把它整理，即得舒爾不等式。
[編輯] 推廣
舒爾不等式有乙個推廣：
假設a、b、c是正的實數。如果（a，b，c）和（x，y，z）是順序的，則以下的不等式成立：
2023年，羅馬尼亞數學家valentin vornicu證明了乙個更一般的形式：
考慮，其中，而且要麼，要麼。設，並設要麼是凸函式，要麼是單調函式。那麼：
當x = a、y = b、z = c、k = 1、(m) = mr時，即化為舒爾不等式。[1]
著名不等式薈萃
在數學領域裡，不等式知識占有廣闊的天地，而乙個個的重要不等式又把這片天地裝點得更加豐富多彩 下面擇要介紹一些著名的不等式 一 平均不等式 均值不等式 設 是個實數，叫做這個實數的算術平均數。當這個實數非負時，叫做這個非負數的幾何平均數。當這個實數均為正數時，叫做這個正數的調和平均數。設 為個正數時，...
不等式的證明及著名不等式
1 基本不等式 1 定理 如果a，b r，那麼a2 b2 2ab，當且僅當a b時，等號成立 2 定理 基本不等式 如果a，b 0，那麼 當且僅當 時，等號成立 也可以表述為 兩個 的算術平均它們的幾何平均 3 利用基本不等式求最值 對兩個正實數x，y，如果它們的和s是定值，則當且僅當 時，它們的積...
不等式知識總結
數學必修5知識總結之不等式 一 不等式及性質 1 不等式比較大小 2 不等式的性質 二 一元二次不等式 1 一元二次不等式 只含有乙個未知數，並且未知數的最高次數是的不等式 2 二次函式的圖象 一元二次方程的根 一元二次不等式的解集間的關係 三 二元一次不等式 1 二元一次不等式 含有兩個未知數，並...