《不等式與一次不等式組》複習與鞏固知識講解
【知識網路】
【要點梳理】
要點一、不等式
1.不等式：用符號「＜」(或「≤」)，「＞」（或「≥」），≠連線的式子叫做不等式.
要點詮釋：
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：對於乙個含有未知數的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．
解集的表示方法一般有兩種：一種是用最簡的不等式表示，例如，等；另一種是用數軸表示，如下圖所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式．
2. 不等式的性質：
不等式的基本性質1：不等式兩邊加(或減)同乙個數(或式子)，不等號的方向不變．
用式子表示：如果a＞b，那麼a±c＞b±c
不等式的基本性質2：不等式兩邊都乘(或除以)同乙個正數，不等號的方向不變．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那麼ac＞bc(或)．
不等式的基本性質3：不等式兩邊乘(或除以)同乙個負數，不等號的方向改變．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那麼ac＜bc(或)．
要點二、一元一次不等式
1. 定義：不等式的左右兩邊都是整式，經過化簡後只含有乙個未知數，並且未知數的最高次數是1，這樣的不等式叫做一元一次不等式，
要點詮釋：ax+b＞0或ax+b＜0 (a≠0)叫做一元一次不等式的標準形式．
2.解法：
解一元一次不等式步驟：去分母、去括號、移項、合併同類項、係數化為1.
要點詮釋：不等式解集的表示：在數軸上表示不等式的解集，要注意的是「三定」：一是定邊界點，二是定方向，三是定空實.
3.應用：列不等式解應用題的基本步驟與列方程解應用題的步驟相類似，即：
（1）審：認真審題，分清已知量、未知量；
（2）設：設出適當的未知數；
（3）找：找出題中的不等關係，要抓住題中的關鍵字，如「大於」「小於」「不大於」「至少」「不超過」「超過」等關鍵詞的含義；
（4）列：根據題中的不等關係，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：檢驗是否符合題意，寫出答案.
要點詮釋：
列一元一次不等式解應用題時，經常用到「合算」、「至少」、「不足」、「不超過」、「不大於」、「不小於」等表示不等關係的關鍵詞語，弄清它們的含義是列不等式解決問題的關鍵.
要點三、一元一次不等式組
關於同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成乙個一元一次不等式組.
要點詮釋：
（1）不等式組的解集：不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的解集.
（2）解不等式組：求不等式組解集的過程，叫做解不等式組.
（3）一元一次不等式組的解法：分別解出各不等式，把解集表示在數軸上，取所有解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集.
（4）一元一次不等式組的應用： ①根據題意構建不等式組，解這個不等式組；②由不等式組的解集及實際意義確定問題的答案．
【典型例題】
型別一、不等式
1.用適當的符號語言表達下列關係.
（1）a與5的和是正數.
（2）b與－5的差不是正數.
（3）x的2倍大於x.
（4）2x與1的和小於零.
（5）a的2倍與4的差不少於5.
【答案與解析】
解：（1）a+5>0；（2）b－（－5）≤0； （3）2x>x； （4）2x+1<0；（5）2a－4≥5.
【總結昇華】正確運用不等符號翻譯表述一些數學描述是學好不等式的關鍵，要關注一些常見的描述語言，如此處：不是、不少於、不大於……
舉一反三：
【變式】用適當的符號語言表達下列關係：
（1）y的與3的差是負數.（2）x的與3的差大於2.（3）b的與c的和不大於9.
【答案】（1）； （2）；（3）.
2.用適當的符號填空：
（1）如果a（2）如果a【思路點撥】不等式的基本性質1,2,3．
【答案】（1）<； <；>． （2）＜；＜；＜．
【解析】
（1）在不等式a在不等式a在不等式a（2）在不等式a在a在a【總結昇華】剛開始在面對不等式的基本變形時，要不斷強化在變形上所運用的具體性質，同時也要逐步積累一些運用性質變形後的化簡結果，這樣學習到的不等式的基本性質才能落在實處．
舉一反三：
【變式1】用適當的符號填空：
（1）7a+6__7a－6；（2）若ac＞bc，且c＜0，則a b．
【答案】（1）>；（2）＞．
【高畫質課堂：一元一次不等式章節複習 410551 例1】
【變式2】判斷:
（1）如果，那麼；
（2）如果，那麼.
【答案】（1）×；（2）√．
型別二、一元一次不等式
3. 解不等式
【思路點撥】不等式中含有分母，應先根據不等式的基本性質2去掉分母，再作其他變形．去分母時，不要忘記給分子加括號．
【答案與解析】
解：去分母，得8x+3 (x+1)＞8－4(x－5)，
去括號，得8x+3x+3＞8－4x+20，
移項，得8x+3x+4x＞8+20－3，
合併同類項，得15x＞25，
係數化為1．得．
∴不等式的解集為．
【總結昇華】解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟異同見下表：
舉一反三：
【變式】(湖南益陽)解不等式，並把解集在數軸上表示出來．
【答案】
解：去分母得5x－1－3x＞3，
移項、合併同類項，得2x＞4，
係數化為1，得x＞2，
解集在數軸上的表示如圖所示．
4.某種商品進價為150元，**時標價為225元，由於銷售情況不好，商店準備降價**，但要保證利潤不低於10%，那麼商店最多降價多少元**商品？
【思路點撥】利潤＝售價－進價，售價＝進價＋利潤＝進價×（1＋利潤率）.
【答案與解析】
解：設商店降價元**該商品，則≥，
解得≤60.
答：商店最多降價60元**商品.
型別三、一元一次不等式組
5. 解不等式組：，並求出正整數解.
【思路點撥】分別解出各不等式，取所有的公共部分.
【答案與解析】
解：由不等式①得≤2，
由不等式②得，
∴由①②得，即
∴原不等式組的解集是，正整數解為1,2．
【總結昇華】求不等式(組)的特殊解的一般步驟是先求出不等式(組)的解集，再從中找出符合要求的特殊解．
舉一反三：
【變式】求不等式組的整數解．
【答案】
解：解不等式－3(x－2)≥4－x，得x≤1，
解不等式，得x＞－2，
所以該不等式組的解集為：－2＜x≤1，
所以該不等式組的整數解是－1，0，1．
型別四、綜合應用
6.若關於x,y的方程組的解滿足，求k的整數值.
【思路點撥】從概念出發，解出方程組（用k表示x、y），然後解不等式組.
【答案與解析】
解：解方程組
∵， 解得：,
∴整數k的值為0，1，2.
【總結昇華】方程組的未知數是x、y，k在方程組裡看成常數.通過求解方程組可以用k表示x、y.方程組的解滿足不等式，那麼可以將x、y用含k的式子替換，得到關於k的不等式組，可以求出k的取值範圍，進而可以求出k的整數值.
【高畫質課堂：一元一次不等式章節複習 410551 例3（1）】
舉一反三：
【變式】m為何值時，關於x的方程： 的解大於1？
【答案】
解：由，得，
∴，解得．
∴當時，關於x的方程： 的解大於1.
7.某學校組織八年級學生參加社會實踐活動，若單獨租用35座客車若干輛，則剛好坐滿；若單獨租用55座客車，則可以少租一輛，且餘45個空座位．
（1）求該校八年級學生參加社會實踐活動的人數；
（2）已知35座客車的租金為每輛320元，55座客車的租金為每輛400元．根據租車資金不超過1500元的預算，學校決定同時租用這兩種客車共4輛（可以坐不滿）．請你計算本次社會實踐活動所需車輛的租金．
【思路點撥】（1）設單獨租用35座客車需x輛．根據單獨租用35座客車若干輛，則剛好坐滿和單獨租用55座客車，則可以少租一輛，且餘45個空座位，分別表示出總人數，從而列方程求解；（2）設租35座客車y輛，則租55座客車（4－y）輛．根據不等關係：①兩種車坐的總人數不小於175人；②租車資金不超過1500元．列不等式組分析求解．
【答案與解析】
解：（1）設單獨租用35座客車需x輛，由題意得：
,解得：.
∴（人）.
答：該校八年級參加社會實踐活動的人數為175人．
（2）設租35座客車y輛，則租55座客車（）輛，由題意得
，解這個不等式組，得．
∵取正整數，∴ = 2.
∴4－= 4－2 = 2（輛）.
∴320×2＋400×2 = 1440（元）.
所以本次社會實踐活動所需車輛的租金為1440元．
【總結昇華】本題考查了一元一次方程的應用和一元一次不等式組的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關係和不等關係．
不等式與不等式組
說明 涉及未知係數或絕對值式子的題目，均可用零點分段討論法解答 例3 已知3a 2b 6 ac 4b 8 0且a b 0求c的取值範圍 分析 消去a，b得到關於c的不等式組，解不等式組得c的取值範圍 分析 已知不等式組的解集，求某些字母的值 或範圍 是不等式組解集確定方法的逆向應用，處理這類問題時，...
不等式與不等式組
a b c d 2 已知，關於x的不等式2x a 3的解集如圖所示，則a的值等於 a 0 b 1 c 1 d 2 3 已知關於x的不等式組無解，則a的取值範圍是 a a 1 b a 2 c 1 a 2 d a 1，或a 2 4 不等式ax a的解集為x 1，則a的取值範圍是 a a 0 b a 0 ...
不等式與不等式組
學生姓名家長簽字 學習目標 1 了解不等式 不等式組及其解的意義,掌握不等式的基本性質和不等式與不等式組的解法 2 能夠根據具體問題中的數量關係，列出不等式與不等式組，解決現實中的問題，培養用數學的意識和能力.基礎 1 下列四個命題 若a b，則a 1 b 1 若a b，則a l b 1 若a b，...