不等式的證明問題，由於題型多變、方法多樣、技巧性強，加上無固定的規律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現，因此難度較大。解決這個問題的途徑在於熟練掌握不等式的性質和一些基本不等式，靈活運用常用的證明方法。
一、要點精析
1.比較法
比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。
(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：「a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b」。其一般步驟為：
①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作乙個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為乙個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為乙個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：
根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用範圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。
(2)商值比較法的理論依據是：「若a，b∈r+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b」。其一般步驟為：
①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關係，就是判定商大於1或小於1。
應用範圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。
2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」。其邏輯關係為：
ab1 b2 b3…bnb，即從已知a逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論b。
3.分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」。用分析法證明ab的邏輯關係為：
bb1b1 b3…bna，書寫的模式是：為了證明命題b成立，只需證明命題b1為真，從而有…，這只需證明b2為真，從而又有…，……這只需證明a為真，而已知a為真，故b必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。
4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式a>b，先假設a≤b，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定a>b。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。
5.換元法換元法是對一些結構比較複雜，變數較多，變數之間的關係不甚明了的不等式可引入乙個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。
(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較複雜，乙個變數不易用另乙個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同乙個引數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯絡，將複雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：
①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tana+tanb+tanc=tanatan-btanc知，可設x=taaa，y=tanb，z=tanc，其中a+b+c=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。
如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。
6.放縮法放縮法是要證明不等式a
二、難點突破
1.在用商值比較法證明不等式時，要注意分母的正、負號，以確定不等號的方向。
2.分析法與綜合法是對立統一的兩個方面，前者執果索因，利於思考，因為它方向明確，思路自然，易於掌握；後者是由因導果，宜於表述，因為它條理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習慣。但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如果把「只需證明」等字眼不寫，就成了錯誤。
而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程。因而證明不等式時，分析法、綜合法常常是不能分離的。如果使用綜合法證明不等式，難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之後用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應人們習慣的思維規律。
還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實現兩頭往中間靠以達到證題的目的。這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統一關係。分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點。
3.分析法證明過程中的每一步不一定「步步可逆」，也沒有必要要求「步步可逆」，因為這時僅需尋找充分條件，而不是充要條件。如果非要「步步可逆」，則限制了分析法解決問題的範圍，使得分析法只能使用於證明等價命題了。
用分析法證明問題時，一定要恰當地用好「要證」、「只需證」、「即證」、「也即證」等詞語。
4.反證法證明不等式時，必須要將命題結論的反面的各種情形一一加以匯出矛盾。
5.在三角換元中，由於已知條件的限制作用，可能對引入的角有一定的限制，應引起高度重視，否則可能會出現錯誤的結果。這是換元法的重點，也是難點，且要注意整體思想的應用。
6.運用放縮法證明不等式時要把握好「放縮」的尺度，即要恰當、適度，否則將達不到預期的目的，或得出錯誤的結論。另外，是分組分別放縮還是單個對應放縮，是部分放縮還是整體放縮，都要根據不等式的結構特點掌握清楚。
不等式證明
第四章微積分中值定理與證明 4.1 微分中值定理與證明 一基本結論 1 零點定理 若在連續，則，使得 2 最值定理 若在連續，則存在使得 其中 分別是在的最小值和最大值 3 介值定理 設在的最小值和最大值分別是，對於，都存在使得 或者 對於，都存在使得 4 費瑪定理 如果是極值點，且在可導，則 5 ...
證明不等式
20.已知函式 i 當時，若函式在其定義域內是增函式，求b的取值範圍 ii 若的圖象與x軸交於兩點，且ab的中點為，求證 20.1 由題意 在上遞增，對恆成立，即對恆成立，只需，當且僅當時取 的取值範圍為 2 由已知得，兩式相減，得 由及，得 令，且，在上為減函式，又，2009 遼寧理21 本小題滿...
不等式證明
二 部分方法的例題 1.換元法 換元法是數學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變數替換可以改變問題的結構，便於進行比較 分析，從而起到化難為易 化繁為簡 化隱蔽為外顯的積極效果。注意 在不等式的證明中運用換元法，能把高次變為低次，分式變為整式，無理式變為有理式，能簡化證明過程。尤其對含有若干...