1．設，，， r，且，，則下列結論中正確的是（ ）．
ab． c． d．
解：選a．
2．設，，且，則的最小值為（ ）．
a． b． c．或 d．不存在
解：（換元法）
設，則，即，（舍），∴，≥，故選 b．
3．設實數，滿足，當≥0時，的取值範圍是（ ）．
a．， b．， c．， d．，
解：（三角換元）
設，，≥，
∴≥，故選c．
4．點在直線上，，與圓分別相切於，兩點，為圓的圓心，則四邊形的面積的最小值為（ ）．
a．24b．16
c．8d．4
解：（數形結合，將問題轉化為只須的面積最小）
要使四邊形的面積最小，只須的面積最小，∵，只須點到點距離最小故最小值為，故，
故選c．
5．已知直線：與曲線c：有公共點，則的取值範圍是（ ）．
ab．，，
cd．，，
解：（數形結合，不等式、直線與圓的簡單應用，利用圖形直接觀察，大大減小了計算量，這類方法是解決選擇題和填空題的首選方法．）
∵直線可化為，∴直線恆過定點．
曲線c可變形為≤，是以點為圓心，2為半徑的圓的左半圓．
由左圖可知應選d．
6．已知函式≥，當時，的最小值是 （ ）．
a． b． c． d．
解：（利用函式在，上是增函式求函式的最值）
當時，在，上是增函式，∴當時，，故選d．
注意下面的解法是錯誤的，≥，當且僅當，即時等號成立．但是≥1，∴這個最小值是取不到的．
7．命題「」是命題「」成立的條件．
解：，得不到，但由，可得到，，∴，∴，∴命題「」是命題「」成立的充分不必要條件．
8．已知，， r）給出下列不等式：
其中一定成立的不等式是注：把成立的不等式的序號都填上）．
解：（≤≤，（≤≤這是絕對值不等式的重要性質，必須熟練地掌握）
∵，∴①②是正確的．
∵≤，∴≤，∴④正確．
令，，，滿足條件，
但，不能成立，
∴③，⑤是錯誤的．
9．設集合，≤≤，若，，且對中的其它元素，，總有≥，則
分析：讀懂並能揭示問題中的實質，將是解決該問題的突破口．怎樣理解「對m中的其它元素(c，d)，總有c≥a」？m中的元素又有什麼特點？
解：依題可知，本題等價於求函式x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)在≤≤時的最小值．
（1）當≤≤1時，，
所以當時，．
（2）當1≤y≤3時，，
所以當y=1時， =4．而，因此當時，有最小值，即．
說明：題設條件中出現集合的形式，因此要認清集合元素的屬性，然後結合條件，揭示其本質．即求集合m中的元素滿足關係式「，≤≤」的所有點中橫座標最小的值．
10．設等差數列的首項，，則它的前項的和最大？
分析：要求前n項和的最大值，首先要分析此數列是遞增數列還是遞減數列．
解：設等差數列的公差為d，由得
，∴，∵，∴，∴數列是遞減數列，
∴存在n，使≥0，且．
∴ ∴≤，∴數列的前6與7項和相等且最大．
說明：很多數學問題可歸結為解某一不等式(組)．正確列出不等式(組)，並分析其解在具體問題的意義，是得到正確結論的關鍵．
11．(2023年全國卷iv)已知數列的前項和滿足．
（1）寫出數列的前三項；
（2）求數列的通項公式；
（3）證明：對任意的整數，有．
[分析] 本小題主要考查數列的通項公式，等比數列的前n項和以及不等式的證明．考查靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力．
解：（1）由，得．由，得
由，得．
（2）當時，有，
…… ，∴
．經驗證也滿足上式，所以 ， n．
（3）證明：由通項公式得．
當≥3且為奇數時，
．當為偶數時，
當為奇數時，，
所以對任意整數，有．
12．（2002理）某城市2023年末汽車保有量為30萬輛，預計此後每年報廢上一年末汽車保有量的6%，並且每年新增汽車數量相同．為了保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那麼每年新增汽車數量不應超過多少輛？
解：設2023年末的汽車保有量為，以後每年末的汽車保有量依次為，每年新增汽車萬輛．
由題意得，即，．
令≤60，解得≤．
上式的右邊是關於的減函式，且時，上式右邊趨於，
故要對一切自然數滿足≤60，應有≤，即每年新增汽車不應超過萬輛．
13．已知函式．
（1）設，≤1，求證：；
（2）設是正實數，是正的自然數，求證：≥．
分析：本題主要複習函式、不等式的基礎知識，絕對值不等式及函式不等式的證明技巧．基本思路先將函式不等式轉化為代數不等式，利用絕對值不等式的性質及函式的性質證明（1）．再利用二項展開式及基本不等式的證明（2）．
證明：（1）∵，∴，
∴，當且僅當時，上式取等號．
∵，∴，∴．
而，當時，；當≤時，，
∴≤2，即
（2）時，等號成立，結論顯然成立．
當時， ．設，
則，∴≥，∴．
2019高考數學複習詳細不等式的性質
2010高考數學複習詳細資料 精品 不等式的性質 知識清單 1 不等式的性質 對稱性或反身性 傳遞性 可加性 此法則又稱為移項法則 同向可相加 可乘性 正數同向可相乘 乘方法則 開方法則 倒數法則 注意 條件與結論間的對應關係，是 符號還是 符號 運用不等式性質的關鍵是不等號方向的把握，條件與不等號...
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高考數學複習專題訓練 不等式 含詳解
一 選擇題 1.不等式的解集是 a.2,1 1b.2 1,c.2d.以上都不是 2.若a b c,a,b,c為常數,不等式 0的解集是 a.c,b ab.c b,a c.c ad.b a,3.若不等式x2 ax 10對於一切x 0，成立，則a的最小值是 a 0 b.2cd.3 4.若且，則的最小值是...