高等數學
多元函式微分法
及其應用學習總結
1．知識結構圖
多元函式微分學：
● 基本概念（區域.定義.極限.連續）
● 偏導數（定義.計算.高階偏導數）
● 全微分（定義.計算.必要條件.充分條件）
● 多元復合函式導數（鏈式法則.全導數）
● 隱函式求導法則（乙個方程.方程組）
● 多元函式微分學的幾何應用（曲線以及曲面的切線和法平面）
● 方向導數及其梯度
● 多元函式最值及其求法
2．內容提要
1) 二次極限定義：
設f（x，y）的區域d內有定義， (,)是d的聚點，若》0，，當點p(x,y)滿足||《時，總有成立，則稱函式當（x，y）趨向時以a為極限，記作或.
2） 二元函式連續性定義
設函式在點的某個鄰域內有定義，若，則稱二元函式在點處連續，點稱為的連續點。
設函式在點的某個鄰域內有定義，分別給自變數x,y在處以增量△x,△y,得到全增量△z=。如果極限,則稱在處連續。
3） 偏函式幾何意義
如果函式的偏導數為曲面與平面的交線在點處關於x軸的斜率；為曲面與平面的交線在點處關於y軸的斜率。
4）偏導函式
如果函式在區域d內任一點都存在偏導數，則稱函式在d 內可導，這個新的函式關係式稱為的偏導函式，記作或。
5）偏導數計算
a. 求時，只要把中的y固定（看作常數），僅對x求導；求時只要把中的x固定（看作常數），僅對y求導。
b. 是一元函式在處的導數，是一元函式在的導數，所以偏導數實際仍是一元函式的求導問題。
6）高階偏導數
定義：設函式在區域d內有偏導數，如果在d內
，仍可導，則稱他們是偏導數的二階偏導數，分別是
其中，稱為的二階混合偏導數。以此類推，可以定義三階和三階以上的偏導數。
7）微分定義
8）可微的必要條件
若函式在（x，y）處可微分，則在點（x，y）處必可導，且全微分
9）可微的充分條件
若函式在（x，y）處的偏導數存在且連續，則在點（x，y）處必可微。
10）方向導數和梯度
若函式在點的某個領域內有定義，自點引射線l，設x軸正向到射線l的轉角為α，y軸正向到射線l的轉角為β。該鄰域中的另一點在l上，當沿l趨向於時，極限存在，則稱此函式極限值為函式
在點處沿l的方向導數，記作，即=。
若函式在點可微分，則=cosα+cosβ。
設函式在點可微分，則稱向量為
在處的梯度，記作grad，即
grad==
梯度的方向是函式在點處方向導數取得最大值的方向，梯度的模即為方向導數的最大值。
11）多元函式求導法則
設，在點（x，y）處可導，而函式在相應的（u，v）
處可微，則復合函式在點（x，y）處可導，且偏導數為
設在點t處可導，而函式在相應的（u，v）處可微，
則復合函式在點t處可導，且全導數為
12）隱函式求導
1.設函式在的某鄰域內有乙個連續的偏導數，且，
則方程=0在的某個鄰域內恆定能確定乙個單值連續且具
有連續導數的一元函式，並且.
2.設函式在在的某個鄰域內有連續的偏導數，且=0， 0，則方程=0在的某個領域內恒能確定
乙個單隻連續且具有連續偏導數的函式，滿足條件，
並有，。
13）空間曲線方程切線及其法平面
設空間曲線引數方程為，其中都是可微函式，
且在曲線上，對應，則曲線在點
的切線向量為
切線方程為：
法平面方程：
3．典型例題
1）判斷是否存在.
分析：選擇直線，是的極限和k值有關，從而說明極限不存在，
這是判斷二重極限是否存在的乙個常用方法。
解： 當沿直線y=x趨向於0時， =
當（x，y）沿直線y=2x趨向於0時，
因為沿不同路徑趨向於0時，函式極限不等，所以原式極限不存在。
2.已知，試求.
解：3.設
解：4.設，求dz.
解：5.設求.
解：方法一：設當時，
在對x求一次導得：
方法二:
對方程直接求導：
再次對兩邊求導得：
6.求曲線在點（1,1,1）所對應的的切線及其法平面方程.
解： 因為，點（1,1,1）所對應的引數
於是切線方程為：
法線方程為：
即：8.求曲線在點（1,-2,1）處的切線和法平面方程
解： 將方程兩邊對x求導並移項，得
由此得：
從而故切線方程為：
即9求函式 ，當時的全微分。
解11求曲面
解： 設
的方向是等值面
即2x+4y+z=14
曲面在處的法線方程是
12求曲線在對應於處的切線以及法平面的方程。
13.求函式。
14..求函式的極值.
解： 先解方程組
求得駐點為（1,0）（1,2）（-3,0）（-3,2）
再求出二階偏導
在點（1,0）處，
f(1,0)=-5;
16.要造乙個容積等於定數的長方形無蓋水池，應如何選擇水池的尺寸，方可使他表面積最小。
高等數學工專課本知識按章總結第一章函式
第一章函式 第一節常用知識準備 一 數集 通常，我們用r表示全體實數構成的數集，用q表示全體有理數構成的數集，用z表示全 體整數構成的數集，用n表示正整數與零構成的數集，也稱自然數集 二 區間與鄰域 三 絕對值 第二節函式的定義及表示 二 函式的定義 三 常用的函式表示法 第三節函式的幾種特性 一 ...
第一章總結
一 命題的符號化及聯結詞 1 命題的概念 可以辨別真假的陳述句稱為命題。命題總是具有乙個判別為真或假的 值 稱為真值。真值只有 真 假 兩種，記作true 真 和false 假 分別用符號t和f表示。祁使句 疑問句 感嘆句都不是命題。不能分解為更簡單的陳述語句稱為原子命題。由聯結詞 標點符號和原子命...
數學選修一第一章章末總結
第一章章末總結 知識點一四種命題間的關係 命題是能夠判斷真假 用文字或符號表述的語句 乙個命題與它的逆命題 否命題之間的關係是不確定的，與它的逆否命題的真假性相同，兩個命題是等價的 原命題的逆命題和否命題也是互為逆否命題 例1 判斷下列命題的真假 1 若x a b，則x b的逆命題與逆否命題 2 若...